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第2课时带电粒子在复合场中的运动必备知识方法知识回扣1．电场与磁场比较(1)带电粒子(不计重力)在电场中的运动可以分为两种特殊类型：加速和偏转．带电粒子在电场中加速问题的分析，通常利用动能定理qU＝来求vt.而带电粒子在电场内的偏转常采用的办法来处理．(2)带电粒子在匀强磁场中的运动①若v∥B，带电粒子以速度v做直线运动,此情况下洛伦兹力F＝0.②若v⊥B，带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速度做．运动分解匀速匀速圆周运动12mvt2－12mv02(3)电场对电荷一定有力的作用，磁场对有力的作用．静电力的方向：正电荷受力方向与场强方向；负电荷受力方向与场强方向．(4)静电力做功与无关，且等于电势能的变化量；而洛伦兹力不做功．2．复合场复合场一般包括、和,在同一区域，可能同时存在两种或三种不同的场．3．带电粒子的运动(1)匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力时带电粒子做匀速直线运动，如速度选择器．运动电荷相同相反路径重力场电场磁场为零(2)匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与静电力时，带电粒子可以在洛伦兹力的作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)较复杂的曲线运动当带电粒子所受的合外力是变力，且与方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线．(4)分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域情况发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成．大小相等、方向相反初速度规律方法1．带电粒子在电场内运动的分析思路若是直线运动一般采用牛顿第二定律结合运动学公式求解；若是曲线运动一般是先把，然后用动力学方法来求．在涉及功能转化时常利用定理来求．2．带电粒子在磁场中运动的分析思路(1)根据确定圆心(2)利用平面几何知识确定半径(3)根据(θ为圆心角)，求粒子在磁场内运动的时间运动分解动能F洛⊥vtT＝θ2π3．正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的及初始运动状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．4．灵活选用力学规律是解决问题的关键当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据列方程求解．当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解．合外力平衡条件热点题型例析题型1带电粒子在叠加场中运动分析例1某同学设想用带电粒子的运动轨迹做出“0”、“8”字样．如图1甲所示，在真空空间的竖直平面内建立xOy坐标系，在y1＝0.1m和y2＝－0.1m处有两个与x轴平行的水平界面PQ和MN把空间分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，在三个区域中分别存在匀强磁场B1、B2、B3，其大小满足B2＝2B1＝2B3＝0.02T，方向如图甲所示；在Ⅱ区域中的y轴左右两侧还分别存在匀强电场E1、E2(图中未画出)，忽略所有电、磁场的边缘效应．ABCD是以坐标原点O为中心对称的正方形，其边长L＝0.2m．现在界面PQ上的A处沿y轴正方向发射一比荷qm＝108C/kg的带正电荷的粒子(其重力不计)，粒子恰能沿图中实线途经BCD三点后回到A点并做周期性运动，轨迹构成一个“0”字．已知粒子每次穿越Ⅱ区域时均做直线运动．图1审题突破(1)带电粒子在Ⅱ区域沿直线BC和DA运动，说明电场力和洛伦兹力之间具有什么关系？(2)轨迹的上下对称说明了什么问题？(3)周期跟甲图相同，又说明区域Ⅱ内BC间和DA间粒子如何运动？(1)求E1、E2的大小和方向；(2)去掉Ⅱ和Ⅲ区域中的匀强电场和磁场，其他条件不变，仍在A处以相同的速度发射相同的粒子，请在Ⅱ和Ⅲ区域内重新设计适当的匀强电场或匀强磁场，使粒子运动的轨迹成为上、下对称的“8”字，且粒子运动的周期跟甲图中相同，请通过必要的计算和分析，求出你所设计的“场”的大小、方向和区域，并在本题的乙图中描绘出带电粒子的运动轨迹和你所设计的“场”．(上面半圆轨迹已在图中画出)解析(1)在Ⅰ、Ⅲ区域中B1qv＝mv2r(1分)解得v＝B1qrm＝B1·qm·L2＝0.01×108×0.1m/s＝105m/s(1分)在Ⅱ区域的电、磁场中沿BC运动，应满足B2qv＝qE1(1分)解得E1＝B2v＝0.02×105V/m＝2×103V/m(1分)由左手定则可知其方向水平向右．(1分)同理E2＝2×103V/m(1分)方向水平向左．(1分)(2)根据对称性，在区域Ⅲ中只能存在匀强磁场，满足B3＝B1＝0.01T，方向垂直纸面向外．(2分)由于周期相等，所以在区域Ⅱ中只能存在匀强电场，且方向必须与x轴平行．(2分)从B点运动至O点做类平抛运动，时间t＝y1v＝10－6s(1分)沿x轴方向的位移为12L，则12L＝12at2(1分)由牛顿第二定律qE＝ma(1分)解得E＝mLqt2＝2×103V/m(1分)根据对称性，电场方向如图中Ⅱ区域箭头所示(1分)运动轨迹如图所示．(1分)(2分)答案(1)E1＝2×103V/m方向水平向右E2＝2×103V/m方向水平向左(2)见解析以题说法(1)对于带电粒子在复合场内运动问题首先要分析清楚其运动特点和受力特点．(2)要注意分析题目中的一些隐含条件,比如不计重力的带电粒子在电场和磁场中直线运动时,一定是匀速直线运动;在混合场内匀速圆周运动时,电场力与重力的合力一定为零.(3)对于带电粒子在叠加场内的一般曲线运动问题(如类平抛)通常采用运动的合成与分解的方法来处理问题．预测演练1如图2所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B.足够长的光滑绝缘斜面固定在水平面上，斜面倾角为30°.有一带电的小球P静止于斜面顶端且小球P对斜面无压力．若给小球P一瞬时速度，使其获得水平方向的初速度向右抛出，同时另有一不带电的小球Q从斜面顶端同一位置由静止开始沿斜面滑下(P、Q均可视为质点)，P、Q两球运动轨迹在同一竖直平面内．一段时间后，小球P恰好与斜面上的小球Q相遇，且相遇时小球P的速度方向与其水平初速度方向的夹角为60°.已知重力加速度为g，求：图2(1)带电小球的比荷qm为多少；(2)P、Q相遇所需的时间；(3)物体P在斜面顶端所获得的初速度的大小．解析(1)P静止时对斜面无压力，则qE＝mg(2分)所以qm＝gE①(2分)(2)设P做匀速圆周运动的速度为v0，圆心为O，半径为R，周期为T，则qv0B＝mv02R②(2分)T＝2πRv0＝2πmqB(2分)由题意和几何知识可知∠O＝60°所以P、Q相遇所需的时间t＝T6＝πE3gB③(3分)(3)在t内，设Q做匀加速运动的加速度为a，位移为x，则a＝mgsinθm＝12g④(2分)x＝12at2⑤(2分)由几何关系可得R＝x⑥(2分)由①～⑥解得v0＝π2E36B(2分)答案(1)gE(2)πE3gB(3)π2E36B题型2带电粒子在组合场中运动分析例2(2010·山东卷·25)如图3所示，以两虚线为界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d,两侧为相同的匀强磁场,方向垂直纸面向里．一质量为m、带电荷量＋q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：(1)粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1；(2)粒子第n次经过电场时电场强度的大小En；图3(3)粒子第n次经过电场所用的时间tn；(4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域电场强度为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线(不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值)．解析(1)由qvB＝mv2r可得r＝mvqB因为粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍……第n次为第一次的n倍，所以速度也分别是二倍、三倍……n倍．由动能定理得W1＝12mv22－12mv12＝12m(2v1)2－12mv12＝32mv12(2)由动能定理得qEnd＝12m[(n＋1)v1]2－12m(nv1)2所以En＝(2n＋1)mv122qd(3)粒子第n次经过电场的平均速度v＝(n＋1)v1＋nv12＝n＋12v1所以粒子第n次经过电场所用的时间tn＝dv＝dn＋12v1＝2d(2n＋1)v1(4)如图所示答案见解析以题说法(1)首先要明确，带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，要注意分析不同场内粒子受力和运动的特点，选用相关物理规律求解．(2)当粒子从一个场进入另一场时，分析转折点的速度往往成为解题的突破口．(3)对于场内运动可能出现的周期性问题也要注意加以分析，防止解答不全面．预测演练2如图4所示，xOy平面内，第二象限匀强电场方向水平向右，第一象限匀强电场方向竖直向下，场强大小相等，设为E，而x轴下方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度设为B，图中OP直线与纵轴的夹角α＝45°，一带正电的粒子从OP直线上某点A(－L，L)处由静止释放，重力不计,设粒子质量为m,带电量为q,E、B、m、q均未知,但已知各量都使用国际制单位时,从数值上有B＝4mEq,求：(1)粒子进入磁场时与x轴交点处的横坐标；(2)粒子进入磁场时速度方向与x轴正方向的夹角；图4(3)如果在OP直线上各点释放许多个上述带电粒子(粒子间的相互作用力不计)，试证明各带电粒子进入磁场后做圆周运动的圆心点的集合为一抛物线．(提示：写出圆心点坐标x、y的函数关系)解析如图所示，带电粒子先做匀加速直线运动，进入第一象限后做类平抛运动，然后在磁场中做匀速圆周运动．(1)设粒子进入第一象限的初速度为v1，根据动能定理有qEL＝12mv12①(2分)类平抛过程中x＝v1t，L＝12at2，a＝qEm②(3分)联立解得x＝2L(1分)(2)类平抛过程的末速度设为v，竖直分速度为vyvy＝at，a＝qEm，L＝12at2③(3分)解得vy并与①式比较得vy＝v1(1分)所以，v与x轴正方向的夹角为45°(1分)(3)由前两问知L取任意值时均有x＝2L，α＝45°④(1分)v＝2v1＝4qELm⑤(1分)粒子在磁场中做匀速圆周运动时，qvB＝mv2R(2分)又由题意知，数值上有B＝4mEq联立各式求解R，解得从数值上有R＝L(1分)于是由图可知圆心点坐标x＝2L－22R，y＝－22R⑥(2分)将R＝L代入，并消去变量L，得x＝4y2＋y，此为一抛物线方程，故各带电粒子进入磁场后做圆周运动的圆心点的集合为一抛物线．(2分)答案(1)2L(2)45°(3)见解析题型3带电粒子在变化的电场和磁场中运动问题分析例3如图5甲所示，在真空中，半径为R＝5L0的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．在磁场右侧有一对平行金属板M和N，两板间距离为d＝6L0，板长为L＝12L0，板的中心线O1O2与磁场的圆心O在同一直线上．有一电荷量为－q、质量为m的带电粒子，以速度v0从圆周上的a点沿垂直于半径OO1并指向圆心的方向进入磁场平面，当从圆周上的O1点水平飞出磁场时，给M、N板加上如图乙所示电压，最后粒子刚好以平行于M板的速度从M板的边缘飞出(不计粒子重力)．甲乙图5(1)求磁场的磁感应强度；(2)求交变电压的周期T和电压U0的值；(3)若在t＝T2时刻，该粒子从M、N板右侧沿板的中心线仍以速率v0向左射入M、N之间，求粒子从磁场中射出的点到a点的距离．运动建模由于E＝Ud,qE＝ma,可知a－t图象的形状与u－t图象的形状一致,粒子板间运动在水平方向一直做匀速运动,在竖直方向，周期性的先向上匀加速，然后匀减速到零．解题示范(1)qv0B＝mv02r(2分)r＝R＝5L0(2分)解得B＝mv05qL0(1分)(2)据题意，粒子在电场中的运动时间为所加交变电压周期的整数倍，即t＝Lv