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§4转化与化归思想方法解读1．转化与化归思想所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问题的解．2．转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3)具体原则：化归方向应由抽象到具体．(4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．3．转化与化归思想常用到的方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．(7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．(8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化的目的．(9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题充分条件，从而易证．(10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA使原问题得以解决．分类突破一、特殊与一般的转化例1在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0.求数列{an}的通项公式．解a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋22，a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋24.由此猜想数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n，n∈N*.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，a1＝2，等式成立．②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时等式成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，那么ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ·2k＋λk＋1＋2k＋1－λ·2k＝[(k－1)＋1]λk＋1＋2k＋1.这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都成立．归纳拓展本题求an时采用了特殊化的方法，这是归纳——猜想——证明的归纳推理，当问题难以入手时，应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡，这就是特殊化的化归策略．数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时需要把一般问题化归为特殊问题，有时需要把特殊问题化归为一般问题．变式训练1e416，e525，e636(其中e为自然常数)的大小关系是____________．解析由于e416＝e442，e525＝e552，e636＝e662，故可构造函数f(x)＝exx2，于是f(4)＝e416，f(5)＝e525，f(6)＝e636.而f′(x)＝exx2′＝ex·x2－ex·2xx4＝ex(x2－2x)x4，令f′(x)＞0得x＜0或x＞2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)＜f(5)＜f(6)，即e416＜e525＜e636.e416＜e525＜e636二、正难则反的转化与化归例2已知三条抛物线：y＝x2＋4ax－4a＋3，y＝x2＋(a－1)x＋a2，y＝x2＋2ax－2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围．解令y＝0，由Δ1＝(4a)2－4(3－4a)0Δ2＝(a－1)2－4a20Δ3＝(2a)2＋8a0，解得－32a－1，∴满足题意的a的取值范围是a≤－32或a≥－1.归纳拓展本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手，求出a的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了．一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题．变式训练2已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为____________________．解析由题意得A＝{y|ya2＋1或ya}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围．如图：由a≤2a2＋1≥4得a≤2a≥3或a≤－3，∴a≤－3或3≤a≤2.即A∩B＝∅时，a的取值范围为a≤－3或3≤a≤2.而A∩B≠∅时，a的取值范围显然是其补集，从而所求范围为{a|a2或－3a3}．{a|a2或－3a3}三、抽象问题与具体问题的转化例3已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________．解析由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列an＝n(n∈N*)，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316.1316归纳拓展本题如果从已知条件a23＝a1·a9⇒(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1与d的关系后，代入所求的式子：a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋8d)(a1＋d)＋(a1＋3d)＋(a1＋9d)，也能求解，但计算较繁锁，易错．因此，把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析，可以很快得到答案．变式训练3已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，那么当x＜0时，一定有________(填序号)．①f(x)＜－1；②－1＜f(x)＜0；③f(x)＜1；④0＜f(x)＜1.解析设f(x)＝2x，，则符合题意，结合图象知④正确．④四、函数、不等式、方程之间的转化例4设函数f(x)＝ex－1＋mx(m∈R)，(1)若f(x)在(1,2)上为单调减函数，求实数m的取值范围；(2)若f(x)在x＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)－n在(0，＋∞)上有零点，求n的最小值．解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝ex－1－mx2.当f(x)在(1,2)上单调递减时，ex－1－mx2≤0在[1,2]上恒成立，∴m≥x2ex－1在[1,2]上恒成立．令h(x)＝x2ex－1，则h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)中[1,2]上单调递增，∴h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值为h(2)＝4e，即m≥4e.故实数m的取值范围是[4e，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－1－mx2，又f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，得m＝1，经检验符合题意．∴f(x)＝ex－1＋1x，g(x)＝f(x)－n＝ex－1＋1x－n.对g(x)求导，得g′(x)＝ex－1－1x2，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数．∴g(x)在x＝1处取得极小值g(1)＝2－n.依题意，g(x)在(0，＋∞)上有零点，∴g(1)≤0,即2－n≤0，∴n≥2.故n的最小值为2.归纳拓展本题的求解涉及两类题型和求解的方法：(1)求参数的范围问题，方法是通过对函数单调性的研究，转化为不等式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题求解．(2)研究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大(或最小)值f(t)，而函数又在此区间有零点，则结合图形分析，可得f(t)≥0(或f(t)≤0)．变式训练4设g(x)＝px－qx－2f(x)，其中f(x)＝lnx，且g(e)＝qe－pe－2(e为自然对数的底数)．(1)求p与q的关系；(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求p的取值范围．解(1)由题意g(x)＝px－qx－2lnx，∴g(e)＝pe－qe－2，∴pe－qe－2＝qe－pe－2，∴(p－q)e＋(p－q)1e＝0，∴(p－q)e＋1e＝0，而e＋1e≠0，∴p＝q.(2)由(1)知：g(x)＝px－qx－2lnx，g′(x)＝p＋px2－2x＝px2－2x＋px2，令h(x)＝px2－2x＋p.要使g(x)在(0，＋∞)上为增函数，只需h(x)在(0，＋∞)上满足h(x)≥0恒成立即可，即px2－2x＋p≥0，p≥2xx2＋1在(0，＋∞)上恒成立，又∵0＜2xx2＋1＝2x＋1x≤22x·1x＝1(x＞0)．∴p≥1.规范演练一、填空题1．若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则k的取值范围为______________．解析求k＝－sin2x－cosx的值域．k＝cos2x－cosx－1＝(cosx－12)2－54.当cosx＝12时，kmin＝－54，当cosx＝－1时，kmax＝1，∴－54≤k≤1.－54≤k≤12．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.解析由ap＋q＝ap＋aq，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理，a8＝a4＋a4＝－24，所以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.－303．(2010·安徽改编)设a＝(35)，b＝(25)，c＝(25)，则a，b，c的大小关系为________．253525解析∵y＝x在x∈(0，＋∞)上递增．∴(35)(25)，即ac.∵y＝(25)x在x∈(－∞，＋∞)上递减，∴(25)(25).即cb，∴acb.2525252535acb4．若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，则f(2011)＝________.解析∵f(x＋1)≤f(x＋3)－2≤f(x)＋3－2＝f(x)＋1，f(x＋1)≥f(x＋4)－3≥f(x＋2)＋2－3≥f(x)＋4－3＝f(x)＋1，∴f(x)＋1≤f(x＋1)≤f(x)＋1.∴f(x＋1)＝f(x)＋1.∴数列{f(n)}为等差数列．∴f(2011)＝f(1)＋2010×1＝2011.20115．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，则x的取值范围是___________________．解析设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)0恒成立．则由f(－2)0f(2)0，即(log2x)2－4log2x＋30(log2x)2－10，解得log2x－1或log2x3.∴0x12或x8，∴x的取值范围是0，12∪(8，＋∞)．0，12∪(8，＋