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专题三三角函数、三角变换、解三角形与平面向量§1三角函数的图象与性质真题热身1．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y0，且y2＝64，所以y＝－8.－82.(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．解析由题图知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z.∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z.令k＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f(x)＝2sin(2x＋π3)，∴f(0)＝2sinπ3＝62.623．(2011·大纲全国改编)设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．解析由题意可知，nT＝π3(n∈N*)，∴n·2πω＝π3(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.64．(2011·天津改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，－πφ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则下列说法中正确命题的序号为________．①f(x)在区间[－2π，0]上是增函数；②f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数；③f(x)在区间[3π，5π]上是减函数；④f(x)在区间[4π，6π]上是减函数．解析∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13，∴13×π2＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．∵－πφ≤π，∴令k＝0得φ＝π3.∴f(x)＝2sin(x3＋π3)．令2kπ－π2≤x3＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z.则6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z.显然f(x)在[－2π，0]上是增函数，故①正确；而在[－3π，－5π2]上为减函数，在[－5π2，－π]上为增函数，故②错误；f(x)在[3π，7π2]上为减函数，在[7π2，13π2]上为增函数，故③错误；f(x)在[4π，6π]上为增函数，故④错误．答案①考点整合1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．正弦、余弦、正切的图象性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)；单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)奇偶性奇偶奇3.y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X＝ωx＋φ，X取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩不出错，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x而言．(4)把函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A、ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．分类突破一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例1如图，以Ox为始边作角α与β(0βαπ)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(－35，45)．(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tanα的值；(2)若OP→·OQ→＝0，求sin(α＋β)．解(1)由三角函数定义得cosα＝－35，sinα＝45，∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosα(sinα＋cosα)sinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP→·OQ→＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sinβ＝sin(α－π2)＝－cosα＝35，cosβ＝cos(α－π2)＝sinα＝45.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45×45＋(－35)×35＝725.归纳拓展三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础．有时，直接考查利用定义求值、判断三角函数值的符号，利用诱导公式和同角的三角函数关系式进行化简、求值和证明有关问题；有时作为工具在大题中考查三角函数的概念与同角三角函数的基本关系和诱导公式，其中，诱导公式往往扮演统一角的角色，同角三角函数间的基本关系扮演统一函数名称的角色，因此要特别重视．变式训练1已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．解析tanθ＝cos3π4sin3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π40，cos3π40，∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.7π4二、三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式例2函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图象(如图所示)，求其解析式．解设函数的周期为T，则34T＝7π8－π8＝34π，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2.又由2×π8＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.∴函数解析式为y＝Asin(2x＋π4)．又图象过点(0，2)，∴Asinπ4＝2，∴22A＝2，∴A＝2.∴所求函数的解析式为y＝2sin(2x＋π4)．归纳拓展已知函数图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．变式训练2右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－π6，5π6]上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移____个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的______倍，纵坐标不变．解析由图象可知A＝1，T＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.∴y＝sin(2x＋φ)(x∈R)．∵图象过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π3＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋π3＋2kπ)＝sin(2x＋π3)．故将函数y＝sinx先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．答案π312三、三角函数的性质例3已知函数f(x)＝sinx·sin(x＋π2)－3cos2(3π＋x)＋32(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标．解f(x)＝sinxcosx－3cos2x＋32＝12sin2x－3×cos2x＋12＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)．(1)f(x)的最小正周期：T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，知kπ－π12≤x≤kπ＋512π(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋512π]，k∈Z.(3)由2x－π3＝π2＋kπ(k∈Z)得对称轴方程为x＝5π12＋kπ2(k∈Z)．由2x－π3＝kπ(k∈Z)得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故对称中心坐标为(π6＋kπ2，0)(k∈Z)．归纳拓展(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再求解．(2)对于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)(cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2)的形式来求．变式训练3已知函数f(x)＝a(2cos2x2＋sinx)＋b.(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递减区间；(2)当a0，x∈[0，π]时，f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．解(1)∵a＝－1，∴f(x)＝－(2cos2x2＋sinx)＋b＝－(sinx＋cosx＋1)＋b＝－2sin(x＋π4)－1＋b.∵y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－π2，2kπ＋π2]，k∈Z，∴当2kπ－π2≤x＋π4≤2kπ＋π2，即2kπ－3π4≤x≤2kπ＋π4，k∈Z时f(x)是减函数，∴f(x)单调递减区间是[2kπ－3π4，2kπ＋π4]，k∈Z.(2)由(1)得f(x)＝2asin(x＋π4)＋a＋b.∵x∈[0，π]，∴π4≤x＋π4≤5π4，∴－22≤sin(x＋π4)≤1.∵a0，2a≤2asin(x＋π4)≤－a，∴2a＋a＋b≤f(x)≤b，∵f(x)的值域是[5,8]，即2a＋a＋b＝5，b＝8.∴a＝3－32，b＝8.规范演练一、填空题1．(2010·全国Ⅰ改编)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝_________.解析∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝1－k2.∴tan80°＝1－k2k.∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.－1－k2k2．将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是______________．解析将函数y＝sin2x的图象向左平移π4个单位，得到函数y＝sin2(x＋π4)，即y＝sin(2x＋π2)＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x＝2cos2x.y＝2cos2x3．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(π24)＝______.解析由图形知，T＝πω＝2(38π－π8)＝π2，ω＝2.由2×38π＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－34π，k∈Z.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由Atan(2×0＋π4)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4)，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tanπ3＝3.34．(2011·山东)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________.解析∵y＝sinωx(ω0)过原点，∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sinωx是增函数；当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sinωx是减函数．由y＝sinωx(ω0)在[0，π3]上单调递增，在[π3，π2]上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.325．将函数f(x)＝3sinx－cosx的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为______．解析f(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)的图象向左平移m(m＞0)个单位，得y＝2sin(x－π6＋m)，使得此函数为偶函数，则m－π6＝π2＋kπ，k∈Z，即m＝23π＋kπ，k∈Z.又∵m＞0，∴m的最小值为2