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§2空间点、直线、平面之间的关系真题热身1．(2011·四川改编)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故①不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故②正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确．②2．(2011·浙江改编)下列命题中正确的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.解析两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故①正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故②正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故③正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故④错误．①②③3．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.考点整合1．点、线、面的位置关系(1)公理1∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．(3)公理3∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(4)公理4∵a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.4．异面直线所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈(0，π2]．(3)求法：先通过作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求．5．直线与平面所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈[0，π2]．(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．6．二面角(1)定义．(2)范围：θ∈[0，π]．(3)找二面角平面角的方法①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：①弄清该二面角及它的棱．②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)．③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．分类突破一、空间线线、线面、面面的位置关系例1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的个数为________．①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.解析对于①，由l⊥m及m⊂α，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故①不正确．②正确．对于③，由l∥α，m⊂α知，l与m的位置关系为平行或异面，故③不正确．对于④，由l∥α，m∥α知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故④不正确．1变式训练1设l、m、n表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.其中真命题的序号为________．解析③中，n可能在α内；④中，可能有α、β相交或平行，只有①②正确．①②二、平行与垂直关系的证明例2(2011·山东)如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD.证明(1)方法一因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠BAD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD2＝3AD2.所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.方法二因为DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以BD⊥D1D.如图，取AB的中点G，连结DG.在△ABD中，由AB＝2AD，得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，所以AA1⊥BD.(2)如图，连结AC、A1C1.设AC∩BD于点E，连结EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝12AC.由棱台的定义及AB＝2AD＝2A1B1知，A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1∥EA1.又因为EA1⊂平面A1BD，CC1⊄平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.归纳拓展线线垂直、线面垂直是立体几何的核心内容之一，它在空间线面关系的推理证明中起着承上启下的桥梁作用．证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质，更要注意对几何体的几何特征的灵活应用．证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．另外根据几何体的数据，通过计算也可得到线线垂直的关系，所以要注意对几何体中的数据的正确利用．变式训练2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.证明(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，又∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.又PA＝PD＝22AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝π2，即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD.又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.三、探索性问题例3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．(1)证明∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，得BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)证明连结PG，因为△PAD为正三角形，G为AD的中点，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，PG⊂平面PGB，BG⊂平面PGB，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(3)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC的中点F，连结DE，EF，DF，则在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，FE∩DE＝E，∴平面DEF∥平面PGB.由(2)可知，PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.归纳拓展解决探究某些点或线的存在性问题，一般的方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．变式训练3如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE.(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．(1)证明因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB＝45°，又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝45°＋45°＝90°，即EF⊥BE.因为BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BC∩BE＝B.所以EF⊥平面BCE.(2)解存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCE.取BE的中点N，连结CN、MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.规范演练一、填空题1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是________．(填序号)解析根据面面垂直的判定定理，知②对．由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，知④对．②④2．设α、β、γ为不同的平面，a、b为不同的直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能使α∥β成立的条件是________．(填序号)解析①、③不正确；②正确；对于④∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α.又∵b⊥β，∴α∥β，故④正确．②④3．已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线