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专题六解析几何§1直线与圆真题热身1．(2011·广东改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1},B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．解析集合A表示圆x2＋y2＝1上的点构成的集合，集合B表示直线x＋y＝1上的点构成的集合，可判断直线与圆相交，故A∩B的元素的个数为2.22．(2011·重庆改编)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．解析圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC＝210，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．故EF＝5，∴BD＝210－(5)2＝25，∴S四边形ABCD＝12AC·BD＝102.1023．(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝__________.解析∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直,∴12×(－2m)＝－1，∴m＝1.14．(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为_______．解析由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y＋2＝k(x＋1)，又圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，∴圆心到直线的距离d＝|k－1＋k－2|1＋k2＝1－(22)2解得k＝1或177.1或177考点整合1．直线的方程(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围是[0，π)．(2)直线的倾斜角为α，斜率为k.当0°＜α＜90°时，k＞0且随倾斜角α的增大而增大．当90°＜α＜180°时，k＜0且随倾斜角α的增大而增大．(3)直线的方程的五种形式①点斜式：y－y0＝k(x－x0)，不能表示与x轴垂直的直线．②斜截式：y＝kx＋b，不能表示与x轴垂直的直线．③两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1,不能表示与坐标轴垂直的直线．④截距式：xa＋yb＝1,不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线.⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)．2．两直线平行、垂直的判定(1)①l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合时，则两直线平行；若两直线中，一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直．(2)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.3．距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.4．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为(－D2，－E2)，半径为r＝D2＋E2－4F2；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，A＝C≠0，D2＋E2－4AF＞0.(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法．根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程．(4)讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径关系)去考虑，其中用几何特征较为简捷、实用．分类突破一、直线方程的应用例1设直线l过点A(2,4)，它被平行线：x－y＋1＝0，x－y－1＝0所截线段的中点在直线x＋2y－3＝0上，试求直线l的方程．解方法一解方程组x＋2y－3＝0，x－y＋1＝0，及x＋2y－3＝0，x－y－1＝0，得交点坐标B(13，43)，C(53，23)．设BC中点为M，则M(1,1)，∴直线l的方程为3x－y－2＝0.方法二设l被平行线x－y＋1＝0，x－y－1＝0所截线段中点为M，M在直线x＋2y－3＝0上知M点可表示为(3－2k，k)．又M为所截线段中点，则M到两平行线距离相等，有3－3k－12＝3－3k＋12，解之k＝1，则M(1,1)，∴l的方程为3x－y－2＝0.方法三∵直线l过点A(2,4)，即l方程为y－4＝k(x－2)．解方程组y－4＝k(x－2)，x＋2y－3＝0，得x＝4k－51＋2k，y＝4＋k1＋2k.由题意，交点坐标到两直线距离相等，∴4k－51＋2k－4＋k1＋2k＋1＝4k－51＋2k－4＋k1＋2k－1，因此k＝3，l方程为3x－y－2＝0.方法四由已知得，直线l被平行直线截得的线段中点在直线y＝x上．由方程组x＝y，x＋2y－3＝0，解得交点坐标(1,1)．∴l方程为3x－y－2＝0.归纳拓展求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法时，要注意方程的选择，用点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，设直线l1：y＝k1x＋1，防止丢解．另外，解题时认真画图，有助于快速准确地找到解题思路．变式训练1(2011·安徽)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0，这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．(2)方法一由方程组y＝k1x＋1，y＝k2x－1解得交点P的坐标为(2k2－k1，k2＋k1k2－k1)，而2x2＋y2＝2(2k2－k1)2＋(k2＋k1k2－k1)2＝8＋k22＋k21＋2k1k2k22＋k21－2k1k2＝k21＋k22＋4k21＋k22＋4＝1.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．方法二交点P的坐标(x，y)满足y－1＝k1x，y＋1＝k2x.故知x≠0.从而k1＝y－1x，k2＝y＋1x.代入k1k2＋2＝0，得y－1x·y＋1x＋2＝0.整理后，得2x2＋y2＝1，所以交点P在椭圆2x2＋y2＝1上．二、圆的方程的应用例2在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．解(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.为了使上述方程对所有满足b＜1(b≠0)的b都成立，必须有1－y0＝0x20＋y20＋2x0－y0＝0，解得x0＝0y0＝1或x0＝－2y0＝1.经验证：点(0,1)，(－2,1)均在圆C上，因此圆C过定点．归纳拓展求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练2在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为D.问是否存在b使三个交点构成的三角形为圆D的内接直角三角形？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．解令x＝0，得抛物线过点(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0.由题意应有b≠0且Δ＝4－4b＞0.∴b＜1且b≠0.设二次函数图象与x轴的交点分别为A(x1,0)，B(x2,0)，与y轴交点为C，则C(0，b)；而x1，x2是方程f(x)＝0，即x2＋2x＋b＝0的两根，∴x1x2＝b.若存在b满足条件，则AC⊥BC.又kAC＝－bx1，kBC＝－bx2，∴－bx1·(－bx2)＝－1，即x1x2＝－b2＝b.又b＜1，且b≠0，解得b＝－1.故存在满足条件的b＝－1.三、直线与圆的位置关系例3已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A、B两点，①若AB＝17，求l的倾斜角；②求弦AB的中点M的轨迹方程；③若定点P(1,1)分弦AB为APPB＝12，求此时直线l的方程．(1)证明由已知l：y－1＝m(x－1)，∴直线l恒过定点P(1,1)．∵12＋(1－1)2＝1＜5，∴P在圆C内，即直线l与圆C总有两个不同的交点．(2)解①将直线l与圆C的方程联立，消去y得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2为方程的两实根，∴x1＋x2＝2m21＋m2，x1x2＝m2－51＋m2，∴AB＝1＋m2|x1－x2|＝1＋m2(x1＋x2)2－4x1x2，∴17＝1＋m2·16m2＋201＋m2.∴m2＝3，m＝±3.∴l的倾斜角为α＝π3或2π3.②设M的坐标为(x，y)，连结CM、CP，∵C(0,1)，P(1,1)，CM2＋PM2＝CP2，∴x2＋(y－1)2＋(x－1)2＋(y－1)2＝1.整理得轨迹方程为x2＋y2－x－2y＋1＝0(x≠1)．③由APPB＝12，得PB→＝2AP→，又PB→＝(x2－1，y2－1)，AP→＝(1－x1,1－y1)．∴x2－1＝2(1－x1)，即2x1＋x2＝3.故2x1＋x2＝3，x1＋x2＝2m21＋m2，x1x2＝m2－51＋m2解方程组得m＝±1.当m＝1时，直线l的方程为x－y＝0.当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－2＝0.∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.归纳拓展(1)有关直线与圆的相交问题，要注意灵活运用圆的几何性质，特别是弦心距、弦长一半和半径满足勾股定理，第(2)小题用此法也较简单；(2)证明直线与圆相交问题，可转化为证明直线过圆内一点，也可通过两方程消元得一元二次方程，证明判别式大于零即可；(3)比较圆心到直线距离与圆的半径的大小亦是判定圆与直线位置关系的常用方法．变式训练3已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．解(1)圆C的方程可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，圆心C(－2,6)，半径r＝4，如图所示，AB＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴AD＝23，AC＝4，在Rt△ACD中，可得：CD＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式：|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－