2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件7(3)：概率与统计、算法初步、复数

§3随机变量及其分布列真题热身1．(2011·辽宁，改编)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.解析P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C22C25＝110，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝14.142．(2011·重庆)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P＝C46126＋C56126＋C66126＝1132.11323．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．解析∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.0.44．(2010·安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A1)＝511；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．解析P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝5×510×11＋2×410×11＋3×410×11＝922，故①⑤错误；②P(B|A1)＝5×510×1112＝511，正确；③事件B与A1的发生有关系，故错误；④A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件．答案②④考点整合1．互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．(3)在一次试验中，对立事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(A)＝1－P(A)．2．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝P(AB)P(A).3．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．4．独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.5．离散型随机变量的概率分布(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表：Xx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…为离散型随机变量X的概率分布表．(2)离散型随机变量X的分布列具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1(i＝1,2,3，…)．6．常见的离散型随机变量的分布(1)两点分布概率分布表为(其中0p1)ξ01P1－pp(2)二项分布在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P(X＝k)＝Cknpkqn－k(其中k＝0,1,2，…，n,0p1，q＝1－p)．则称这样的随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n，p)．7．离散型随机变量的期望与方差若离散型随机变量X的概率分布表为Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的数学期望，简称期望．V(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量X的方差．分类突破一、互斥事件与相互独立事件例1甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为13，甲、乙都闯关成功的概率为16，乙、丙都闯关成功的概率为15，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分．(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)求团体总分为4分的概率；(3)若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛．求该小组参加复赛的概率．解(1)设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2，因为乙、丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：13P1＝16P1·P2＝15，解得P1＝12，P2＝25.所以乙闯关成功的概率为12，丙闯关成功的概率为25.(2)团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关．设“团体总分为4分”为事件A，则P(A)＝(1－13)×12×25＋13×(1－12)×25＋13×12×(1－25)＝310.所以团体总分为4分的概率为310.(3)团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，设“团体总分不小于4分”为事件B，由(2)知团体总分为4分的概率为310.团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为13×12×25＝115.所以参加复赛的概率为P(B)＝310＋115＝1130.所以该小组参加复赛的概率为1130.归纳拓展1.在解决互斥事件与相互独立事件的概率问题时，首先要注意互斥事件与相互独立事件的区别和运用场合．互斥事件是指两个事件A、B在某个试验中不可能同时发生的情况，亦即P(AB)＝0的情况；相互独立事件A′、B′当然可以同时发生，而且常指可同时发生的情况下，事件A′发生与否不影响B′发生的概率(反之亦如此)．相互独立事件同时发生的概率公式为P(A′·B′)＝P(A′)·P(B′)；互斥事件A、B至少一个发生的概率公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．如果一个问题包含的正面情况比较多，反面情况比较少，则一般利用对立事件进行求解，即先求出欲求概率的事件的对立事件的概率，再得到欲求事件的概率，一般地，“至少”、“至多”等问题往往会用到这种方法求解．变式训练1甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．则乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？解(1)甲至少有一次未击中目标的概率P1为P1＝P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝1－P4(0)＝1－234130＝6581.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2＝C24232132＝827，乙射击4次恰击中3次的概率为P3＝C34343×14＝2764，即所求概率为P＝P2P3＝827×2764＝18.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P＝343142＋C12342143＝451024.二、离散型随机变量的期望、方差例2(2011·天津)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布表及数学期望E(X)．解(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝C23C25·C12C23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又P(A2)＝C23C25·C22C23＋C13C12C25·C12C23＝12，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝(1－710)2＝9100，P(X＝1)＝C12·710·(1－710)＝2150，P(X＝2)＝(710)2＝49100.所以X的概率分布表是X012P9100215049100X的数学期望E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.归纳拓展(1)求离散型随机变量的概率分布表的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率．(2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的概率分布表，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解．变式训练2口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球．在前三次的摸球中分别求：(1)乙恰好摸到一次红球的概率；(2)甲至少摸到一次红球的概率；(3)甲摸到红球的次数X的概率分布表及数学期望．解记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则P(A)＝P(B)＝44＋8＝13，P(A)＝P(B)＝23，且事件A，B相互独立．(1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为P′＝P(AAB)＋P(ABB)＝13×23×13＋23×13×23＝29.(2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为P1＝P(A·B)＋P(A·B·A)＝23×13＋(23)3＝1427，所以甲至少摸到一次红球的概率为P2＝1－P1＝1－1427＝1327.(3)根据题意，X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝P(A·B)＋P(A·B·A)＝23×13＋(23)3＝1427，P(X＝1)＝P(A·A)＋P(A·B·A)＝13×23＋(23)2×13＝1027，P(X＝2)＝P(A·A·A)＝(13)2×23＝227，P(X＝3)＝P(A·A·A)＝(13)3＝127.故X的概率分布表为X0123P14271027227127数学期望E(X)＝0×1427＋1×1027＋2×227＋3×127＝1727.三、随机变量及概率分布的综合应用例3(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对某进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的概率分布表；(2)求此员工月工资的期望．解(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝i)＝Ci4C44－iC48(i＝0,1,2,3,4)．即X01234P1708351835835170(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800,3500.则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝170，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝835，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝5370.E(Y)＝3500×170＋2800×835＋2100×5370＝2280.所以此员工月工资的期望为2280元．归纳拓展离散型随机变量的概率分布、期望与方差问题往往是以实际应用性问题形式出现，理解题意是解题关键，运用分类讨论思想进行思考，通过合理分类寻找随机变量的可能取值，准确计算随机变量相应的概率，因此努力培养阅读理解能力，准确迅速的运算能力和分析问题、解决问题的能力十分重要．变式训练3(2011·湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的