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第二部分考前冲刺篇专题九题型突破一、填空题的解法与技巧题型精点解读填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．方法应用示例方法一直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1在等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________．解析设公差为d，则11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13，∴d＝59.∴数列{an}为递增数列．令an≤0，∴－3＋(n－1)·59≤0，∴n≤325，∵n∈N*.∴前6项均为负值．∴Sn的最小值为S6＝－293.－293变式训练1若函数f(x)＝m＋loga(x－3)的图象恒过点(4,4)，则g(x)＝mx＋2m2x＋4的最大值是________．解析由已知可得f(4)＝4，故m＋loga1＝4，解得m＝4.故g(x)＝4x＋242x＋4＝16×4x42x＋4＝164x＋44x，因为4x0，所以4x＋44x≥24x×44x＝4(当且仅当4x＝44x，即x＝log42＝12时等号成立)，所以g(x)≤164＝4，即g(x)的最大值为4.故填4.4方法二特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例2过抛物线y＝ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p，q，则1p＋1q为___．解析若用常规方法，运算量很大，不妨设PQ∥x轴，则p＝q＝12a，∴1p＋1q＝4a.4a变式训练2在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.解析方法一取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，则cosA＝45，cosC＝0，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.方法二取特殊角A＝B＝C＝60°，cosA＝cosC＝12，cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.45方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果．例3当0≤x≤1时，不等式sinπx2≥kx成立，则实数k的取值范围是________．解析∵0≤x≤1，∴0≤πx2≤π2.则函数y1＝sinπx2(0≤x≤1)的图象如图所示．要使不等式sinπx2≥kx在[0,1]上恒成立，则k≤1.k≤1变式训练3已知函数f(x)＝log2x(x0)，3x(x≤0)且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根,则实数a的范围是_________．解析方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a的范围是(1，＋∞)．(1，＋∞)方法四构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷地解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似的问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何体等具体的数学模型，使问题快速解决．例4已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确序号)．解析用正方体ABCD－A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的射影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．①②④变式训练4如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，且PD⊥面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为________．解析根据题意可将此图补成一正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°.60°方法五特征分析法有些问题看似非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解．例5已知函数f(x)＝x21＋x2，那么f(1)＋f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋f(4)＋f(14)＝________.解析本题所求的七个函数值最明显的特征是有3组自变量互为倒数，由此不难得出本题应该研究f(x)＋f(1x)的特征，代入解析式得f(x)＋f(1x)＝1，故原式＝3＋f(1)＝72.72变式训练5已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝an－1－an－2(n∈N*，n≥3)，则a2010＝________.解析由a1＝1，a2＝2，an＝an－1－an－2，知a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，∴{an}是周期函数，且T＝6.故a2010＝a335×6＝a6＝－1.－1仿真模拟演练1．设全集U＝R，A＝{x|x－1x＋m0}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________.解析由∁UA＝[－1，－n]，知A＝(－∞，－1)∪(－n，＋∞)，即不等式x－1x＋m0的解集为(－∞，－1)∪(－n，＋∞)，所以－n＝1，－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，故m2＋n2＝2.22．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.解析特殊化法：尽管满足a5·a6＝9的数列有无穷多，但所求结果应唯一，故只需选取一个满足条件的特殊数列a5＝a6＝3，则公比q＝1就可以了．原式＝log3(3·3·3·…·3)＝log3310＝10.103．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析由an＋1＝2an＋3，则有an＋1＋3＝2(an＋3)，即an＋1＋3an＋3＝2.所以数列{an＋3}是以a1＋3为首项、公比为2的等比数列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3.2n＋1－34．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则cos〈a，b〉＝________.解析设正三角形△ABC中，BA→＝a，AC→＝b，BC→＝c，所以BA→与AC→的夹角为120°，所以cos〈a，b〉＝cos120°＝－12.－125．设等差数列{an}，{bn}的前n项的和分别为Sn与Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则anbn＝________.解析因为等差数列的前n项和公式为Sn＝a1n＋n(n－1)d2＝d2n2＋(a1－12d)n，故可设Sn＝2n·n，Tn＝(3n＋1)·n，则可得an＝4n－2，bn＝6n－2，∴anbn＝4n－26n－2＝2n－13n－1.2n－13n－16．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值是______．解析因|2a|＝|b|＝2，故向量2a和b所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2a－b|的几何意义即表示弦AB的长，故|2a－b|的最大值为4.47．已知椭圆x29＋y24＝1的焦点为F1、F2，点P是椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是______________．解析构造圆x2＋y2＝5，与椭圆x29＋y24＝1联立求得交点x20＝95⇒x0∈(－355，355)．(－355，355)8．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH→＝m(OA→＋OB→＋OC→)，则实数m＝____.解析(特殊值法)当∠B＝90°时，△ABC为直角三角形，O为AC中点．AB、BC边上高的交点H与B重合．OA→＋OB→＋OC→＝OB→＝OH→，∴m＝1.19．已知四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长都为1，则x的取值范围是________．解析如图所示，设AB边长为x，固定△BCD，让△ACD绕CD转动．当点A→B时，x→0；当点A→A1(正△A1CD与△BCD)共面时，x→3.故x∈(0，3)．(0，3)10．(2010·陕西)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为__________________________．解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，且这个正整数为等式左边各正整数的和，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.13＋23＋33＋43＋53＋63＝21211．若关于x，y的不等式组x－y≤12x＋y≥1ax＋y≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．解析不等式组x－y≤12x＋y≥1表示的可行域如图，动直线ax＋y＝2过定点A(0,2)，则当动直线ax＋y＝2从与直线2x＋y＝1平行的l1位置，逆时针绕点A(0,2)旋转到与x－y＝1平行的l2位置时(不包含直线l1，l2)，不等式组x－y≤12x＋y≥1ax＋y≤2的可行域为三角形，所以动直线ax＋y＝2的斜率满足：－2－a1，则a∈(－1,2)．(－1,2)12．阅读右面的流程图若该框图是计算“A4＋A5＋A6”的值，那么判断框中应填__________．解析由题知，本框图是求A4＋A5＋A6的值，则运行第一次有s＝0＋A4，i＝4＋1＝5；运行第二次有s＝A4＋A5，i＝5＋1＝6；运行第三次有s＝A4＋A5＋A6，i＝6＋1＝7；运行第四次有s＝A4＋A5＋A6＋A7，i＝7＋1＝8，这时我们发现，当程序运行到第四次的时候不满足题意，由此可知判断框内的语句应该是限制i的取值的，故可填i7或i≤6.i7或i≤613．设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内任意一点，且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3，则有d1＋d2＋d3为定值32a；由以上平面图形的特性类比到空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内任意一点，且P到平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD的距离分别为h1、h2、h3、h4，则有h1＋h2＋h3＋h4为定值______．解析利用填空题的特点，特殊化，P若与A重合，则h1＋h2＋h3＋h4即为A到平面BCD的距离，所以h1＋h2＋h3＋h4为定值63a，此外本题也可以利用等体积的方法来求．63a14．已知f(x)＝x＋log2x9－x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为________．解析由于f(x)＝x＋log2x9－x，所以f(9－x)＝9－x＋log29－xx＝9－x－log2x9－x，于是有f(x)＋f(9－x)＝9.从而f(1)＋f(8)＝f(2)＋f(7)＝f(3)＋f(6)＝f(4)＋f(5)＝9.故原式值为9×4＝36.3615．在△ABC中，如果sinA∶sinB∶