2.4极限的四则运算(1)

问题1：函数你能否直接看出函数值的变化趋势？23221(),121xxfxxxx当时问题2：如果不能看出函数值的变化趋势，那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？为了解决这些问题，我们有必要给出函数极限的运算法则：（证明从略）1、函数极限运算法则bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果，那么0()lim(0).()xxfxabgxb0xx时00lim()()lim()()xxxxfxgxabfxgxab也就是说：如果两个函数都有极限，那么由这两个函数的各对应项的和、差、积、商组成的函数的极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（各项作为除数的函数的极限不能为0）。注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。由不难得到：)(lim)]([lim00xfCxCfxxxx)()](lim[)]([lim*00Nnxfxfnxxnxx注意：使用极限运算法则的前提是各部分极限存在！（C为常数）0lim[()()]xxfxgxab由上面的运算法则可知：;lim,)lim(lim00000nnxxnnxxnxxxxxxx即)(*Nn请同学们记清函数极限的运算法则利用函数极限的运算法则，我们可以根据已知的几个简单函数的极限，求出较复杂的函数的极限。1、函数极限运算法则bxgxx)(lim0axfxx)(lim0如果，那么0()lim(0).()xxfxabgxb0xx时00lim()()lim()()xxxxfxgxabfxgxab)(lim)]([lim00xfCxCfxxxx)()](lim[)]([lim*00Nnxfxfnxxnxx（C为常数）;lim,)lim(lim00000nnxxnnxxnxxxxxxx即32(),xfxxx函数当时的极限？?23limxxx即问：你能否直接看出函数值的变化趋势？lim()()lim[()()]xxfxgxabfxgxab＝bxgx)(limaxfx)(lim如果，那么()lim(0).()xfxabgxb：xxx就得替换为把0)(lim)]([limxfCxCfxx)()](lim[)]([lim*Nnxfxfnxnx注意：使用极限运算法则的前提是各部分极限存在！（C为常数）即,00)1lim()1(lim1limnnxnxnxxxx01limnxx由运算法则可知：当时推广0limnxxa*Nn232121lim.21xxxxx例1求1212lim2321xxxxx解：)12(lim)12(lim23121xxxxxx1lim2limlim1limlim2lim121311121xxxxxxxxxx211211112232).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx通过例1同学们会发现：①函数f（x）在x=x0处有定义②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，只要把x=x0代入函数解析式中，就得到极限值。如：.1212lim2321xxxxx求2112111122321212lim2321xxxxx解：总结提高：分析：当时分子、分母的极限都是0，不能直接运用上面的极限运算法则。因为当时函数的极限只与x无限趋近于1的函数的变化趋势有关，与x=1时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-1以后再求函数的极限。1x1x例2求.121lim221xxxx例2求.121lim221xxxx解：)12)(1()1)(1(lim1xxxxx.121lim221xxxx121lim1xxx321211)12(lim)1(lim11xxxx).0()(lim)(lim)()(lim000bbaxgxfxgxfxxxxxx总结与提高：通过例3、例4同学们会发现：①函数f（x）在处无定义②求这类函数在某一点x=x0处的极限值时，必须通过代数变形转化为第一种类型。0xx.416lim24xxx如：求)4()4)(4(lim4xxxx4limlim)4(lim444xxxxx.416lim24xxx.121lim221xxxx例3求例4小结：（1）概述极限的运算法则。（2）本节课学习了两类计算函数极限的方法。作业：（3）P912通过各例求极限的过程可以看出，在求有理函数的极限时，最后总是归结为求下列极限：)(,lim);(,lim*000NkxxCCCkkxxxx是常数如果，那么aannlimbbnnlimlimnnnabablim(0)nnnaabbb1、请同学们回顾一下数列极限的运算法则：lim()nnnababaCaCaCnnnnlimlim注：使用极限四则运算法则的前提是各部分极限必须存在。特别地，如果C是常数，那么也就是说：如果两个数列都有极限，那么由这两个数列的各对应项的和、差、积、商组成的数列的极限，分别等于这两个数列的极限的和、差、积、商（各项作为除数的数列的极限不能为0）。应用举例：例1求下列极限)21(lim(1)2nnn232lim(3)22nnnnnn23lim(2)n243n23lim(4)nnnn22n1212(1)lim()limlim102lim000nnnnnnnn3031lim232lim3lim)23(lim23lim(2)nnnnnnnnnn3203022lim3lim1lim2lim)23(lim)12(lim2312lim232lim(3)2nnnn2nn2n22nnnnnnnnnn002001lim-2lim1limn3lim)12(lim)13(lim1213lim23lim(4)2nn3nn2n3n23n243nnnnnnnnnnnnn一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的次数相同，这个分式在的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在的极限是0nn变式练习：（1）已知=2,求a的值()（2）求的极限（）bnnan22n3lim232lim22xxxx632注：求的函数极限问题转化为求的数列极限问题xn(3)若,则a=_____b=_______222lim(2)1xaxxxbx-42例22321limnnn求2121lim)1(21lim321lim22nnnnnnnnnn注：极限的运算法则只能推广到有限多项，当项数无限时，要先求和（或积）再求极限0000lim2lim1lim321lim2222nnnnnnnnnn思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因小结与反思：1、本节知识结构2、思想方法反思函数的极限数列的极限函数极限的四则运算法则数列极限的四则运算法则求分式的极限求无限项和的极限应用(1)一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，①若分子分母的次数相同，这个分式在的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在的极限是0（2）求的函数极限问题转化为求的数列极限问题（3）当项数无限时，要先求和（或积）再求极限nxnn