2010届高考数学复习强化双基系列课件__《立体几何―空间角》

2010届高考数学复习强化双基系列课件《立体几何－空间角》【教学目标】掌握线线角与线面角、二面角及其平面角的概念，能灵活作出二面角的平面角，并能求出大小要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析第１课时线线角与线面角要点·疑点·考点1.线线角(2)范围：20π，(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引，则所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a、b所成的角.ba，abba////，2.线面角(3)范围：20π，(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角(2)若直线l⊥平面α，则l与α所成角为直角若直线l∥平面α，或直线l平面α，则l与α所成角为0°(4)射影定理：从平面α外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短(5)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角.返回2.相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)332336261.平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是()(A)30°(B)60°(C)90°(D)150°课前热身CC3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是___________.424.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的范围是()(A)(B)(C)(D)00θθ5040θθ9040θθ9050θθB返回A5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)10302115301015能力·思维·方法1.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.【解题回顾】本题解法是求异面直线所成角常采用的“平移转化法”：把异面直线转化为求两相交直线所成的角，需要通过引平行直线作出平面图形，化归为平面几何问题来解决.2.如图，在正方体AC1中，(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角；(2)求A1B1与平面A1C1B所成的角.【解题回顾】“线线角抓平移，线面角定射影”.也就是说要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，本题①中BO就是平面的垂线，②垂足H的位置也必须利用图形的性质来确定.3.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分别是A1B1和BB1的中点.求：(1)EH与AD1所成的角；(2)AC1与B1C所成的角.【解题回顾】(2)中为了找到异面直线AC1与B1C所成的角，需将AC1平移出长方体外，实际上是在原长方体外，再拼接一个完全相同的长方体，这是立体几何中常见的方法之一.4.在120°的二面角α-l-β的两个面α、β内分别有A、B两点，这两点到棱的距离分别为2和4，AB=10，求：(1)AB与l所成的角；(2)AB与平面β所成的角.返回【解题回顾】本例是综合题，解题过程常常是作图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶段，这样就综合考查了空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.延伸·拓展5.在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′(1)求证：四边形B′EDF是菱形；(2)求直线A′C与DE所成的角；(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角.【解题回顾】对于第(1)小题，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形，那是不对的，因存在四边相等的空间四边形，所以必须证B′、E、D、F四点共面.第(3)小题应用了课本一道习题的结论，才证明了AD在平面B′EDF内的射影在B′D上返回误解分析返回2.凡立体几何求角或距离的解答题，一定要注意“作、证、指、求”四个环节缺一不可.1.求异面直线所成的角，要注意角的范围是，如能力·思维·方法3，平移后得，计算得，不能说两异面直线成角为，而应为．2π，55cos1CBACBA1，055arccos55arccos要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析第２课时二面角(一)要点·疑点·考点1.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量.2.二面角的平面角：(1)定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(2)范围：[0，π]3.二面角的平面角的作法：(1)定义法(2)三垂线定理法(3)作棱的垂面法返回课前热身1.下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.其中，正确命题的序号是______________.②、④2.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角B1-AA1-C1的大小为_____，二面角B-AA1-D的大小为______，二面角C1-BD-C的正切值是_______.245°90°3.在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它与棱l所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则这个二面角的大小是________________.45°或135°4.三棱锥A—BCD中，AB=AC=BC=CD=AD=a，要使三棱锥A—BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大小是（）（A）（B）（C）（D）2π3π32π4πAA5.在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角α-a-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平面α与平面β的距离之比为()(A)(B)(C)(D)222323返回能力·思维·方法【解题回顾】本题是1990年全国高考题，(1)的证明关系较复杂，需仔细分析。(2)的平面角就是∠CDE，很多考生没有发现，却去人为作角，导致混乱.1.在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB=a，BC=2a，(1)求证：SC⊥平面BDE；(2)求平面BDE与平面BDC所成的二面角大小.2.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M.又知AA1与底面ABC所成的角为60°.(1)求证：BC⊥平面AA1C1C；(2)求二面角B-AA1-C的大小.【解题回顾】①先由第(1)小题的结论易知BC⊥AA1，再利用作出棱AA1的垂面BNC来确定平面角∠BNC.②将题设中“AA1与底面ABC所成的角为60°”改为“BA1⊥AC1”仍可证得三角形AA1C为正三角形，所求二面角仍为.③本题的解答也可利用三垂线定理来推理.332arctan3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D.(1)确定点D的位置，并证明你的结论；(2)求二面角A1-AB1-D的大小.a22【解题回顾】第(2)题中二面角的放置属于非常规位置的图形(同例(1)的变题)，看起来有些费劲，但是一旦将图形的空间位置关系看明白，即可发现解决此种问题的基本方法仍然与常规位置时相同.返回延伸·拓展4.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点.(1)证明AB1∥平面DBC1.(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.【解题回顾】本题为1994年全国高考理科试题，图中的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同.这是高考题中常出现的现象，目的是考查各种位置的正三棱柱性质，这一点应引起读者注意.返回误解分析返回1.二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二面角的大小方法多，技巧性强．但一般先想定义法，再想三垂线定理法，如课前热身4，及能力•思维•方法1中，如果盲目作垂线，则会干扰思维．2.实施解题过程仍要注意“作、证、指、求”四环节，计算一般是放在三角形中，因此，“化归”思想很重要.要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析第３课时二面角(二)要点·疑点·考点1.熟练掌握求二面角大小的基本方法：(1)先作平面角，再求其大小；(3)直接用公式cosθ=S射/S原2.掌握下列两类题型的解法：(1)折叠问题——将平面图形翻折成空间图形.(2)“无棱”二面角——在已知图形中未给出二面角的棱.返回课前热身1.二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是平面α内的点(不在棱AB上)，D是C在平面β上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则()(A)∠CEB＞∠DEB(B)∠CEB=∠DEB(C)∠CEB＜∠DEB(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定A2.直线AB与直二面角α-l-β的两个半平面分别交于A、B两点，且A、Bl.如果直线AB与α、β所成的角分别是θ1、θ2，则θ1+θ2的取值范围是()(A)(B)(C)(D)221πθθπθθ210221πθθ2021πθθD3.在长、宽、高分别为1、1、2的长方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与底面ABCD所成角的余弦值是_______.4.把边长为a的正三角形ABC沿着过重心G且与BC平行的直线折成二面角，此时A点变为，当时，则此二面角的大小为__________________.AaCA3531arccos(1/3)5.已知正方形ABCD中，AC、BD相交于O点，若将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角后，给出下面4个结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④过B点作直线l⊥平面BCD，则直线l∥平面AOC其中正确命题的序号是__________①③④返回能力·思维·方法1.平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠DCB=135°，沿对角线AC将四边形折成直二面角.证：(1)AB⊥面BCD；(2)求面ABD与面ACD所成的角.【解题回顾】准确画出折叠后的图形，弄清有关点、线之间的位置关系，便可知这是一个常见空间图形(四个面都是直角三角形的四面体).2.在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D=6，BC=3，DC=3，A是P1D的中点.沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P-CD-B成45°，设E、F分别为AB、PD的中点.(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求二面角P-BC-A的大小；【解题回顾】找二面角的平面角时不要盲目去作，而应首先由题设去分析，题目中是否已有.3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC的中点，求平面B1D1E和平面ABCD所成的二面角的正弦值.【解题回顾】解法一利用公式.思路简单明了，但计算量较解法二大.解法二的关键是确定二面角的棱，再通过三垂线定理作出平面角，最终解直角三角形可求出.SSθcos4.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12.(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.【解题回顾】(1)较易，(2)因所求二面角无“棱”，故先延长BA、