3.3.2函数的极值与导数

3.3.2函数的极值和导数ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减如图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10.的图象.htoabvtoba观察:v（t)=h′(t)ta时,h(t)单调递增，h’(t)0;ta时,h(t)单调递减，h’(t)0;t=a时，h’(a)=0.也就是说在t=a附近，函数值h(t)先增后减，h’(t)先正后负，h(a)=0观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的特点oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))33R(x,f(x))44S(x,f(x))1函数y=f(x)在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？2y=f(x)在这些点的导数值是多少？3这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？1234,,,xxxx一般地，设函数f(x)在点x0附近有意义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹤f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)﹥f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值同称为极值.函数极值的定义oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))33R(x,f(x))44S(x,f(x))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?oax0bxyoax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)xx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx'()0fx增增减减极大值极小值若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D注意：极值点指的是自变量x,极值指的是函数值y31443f(x)xx求函的极值数解:∵f(x)=x2-4,由f(x)=0解得x1=2,x2=-2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：f(x)f(x)x∴当x=2时,y极小值=28/3；当x=-2时,y极大值=-4/3.(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+00-+极大值28/3极小值-4/31yxxxX-1-1(-1,0)（0，1）1X1+0--0+极大值极小值'()fx()fx所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是22221,011'()1'()01xxxxfxfxxxxx解：f(x)=所以，时，当变化时，f'(x),f(x)变化如下表导函数的正负是交替出现的吗？不是...)(.40)(.3)(.2.1'''极小值左负，右正极大值如果左正，右负号在方程根左右的值的符检查的全部实根；求；求函数确定函数的定义域；xfxfxf求可到函数极值的步骤：2333(1)()62(2)()27(3)()612(4)()3fxxxfxxxfxxxfxxx求下列函数的极值'()()()()()().fxabfxabfxab1.函数的定义域为开区间，，导函数在，内的函数图像如图，则函数在开区间，内存在极小值点个题型1：图像与函数的极值xyOab12导函数y=f’(x)的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？XYOax1x2x3x4x5x6bY=f’(x)X2,x4为极值点X2为极大值点X4为极小值点3导函数y=f’(x)的图像如图，在标记的点中哪一点处（1）导函数y=f’(x)有极大值？（2）导函数y=f’(x)有极小值？（3）函数y=f(x)有极大值？（4）函数y=f(x)有极小值？x1x2x3x4Y=f’(x)XYOX2X4X3x5X54已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点（2）如果函数y=f(x)表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？y=f(t)5以下图形分别表示一个三次函数及其导数在同一坐标系中的图像，其中一定不正确的序号是（）XYOXYOXYOXYO(1)(2)(3)(4)A(3)(4)B(1)(3)C(2)(4)D(1)(2)A19品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网、极值的判定方法2、极值的求法3、利用图像找函数的极值点注意：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件2、要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.321.()33(2)1..fxxaxaxa若既有极大值，又有极小值求的取值范围分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根2若不等式对任意实数x都成立，求实数a的取值范围4342xxa分析：由不等式可以知道,则要求a的范围，只要a大于函数的最大值即可，问题转化成求函数f(x)的最值3442axx34()42fxxx目标：根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式数形结合来解决问题小值点？分别是极大值点还是极）判断（的值；、、）求常数（时取得极值，且在已知121.1)1(1)0()(23xcbafxacxbxaxxf例1若函数在x=-1和x=3时有极值，则a=_______,b=_______3227yxaxbx32()173.fxxaxbxcxxabc已知当时，取得极大值，当时，取得极小值，求这个极小值及、、的值-3-9a=-3,b=-9,c=2,极小值为-25(2006年北京卷)已知函数32()fxaxbxcx在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；0x0x(1)由图像可知：10x2,9,12abc)0(23(2/acbxaxxf　　）＝5)1(cbaf0412)2(023)1(//＝cbafcbaf(2)在x=2处有极大值，求常数c的值2()()fxxxcC=632()221.1()2().fxaxbxxxxfxfx已知在，处取得极值（）求的解析式；（）求的单调区间32()23(1)68.1()32()(0)fxxaxaxaRfxxafxa设函数其中（）在处取得极值，求常数的值；（）若在，上为增函数，求的取值范围？323()43coscos1602.1cos0()2()0.fxxxxRfxfx已知（其中，为参数，）（）当时，判断函数是否有极值；（）要使函数的极小值大于，求参数的取值范围