高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第三讲 分类讨论思想

思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第2部分专题一数学思想与方法数学思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学1．分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．第三讲分类讨论思想思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学2．分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．3．分类讨论解题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳．思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学[例1]设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2,3，…)，则q的取值范围是________．由概念、法则、公式引起的分类讨论[思维流程]思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学[解析]因为{an}是等比数列，Sn0，可得a1＝S10，q≠0.当q＝1时，Sn＝na10；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q0，即1－qn1－q0(n＝1,2,3，…)，则有1－q0，1－qn0①或1－q0，1－qn0②，由①得－1q1，由②得q1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．[答案](－1,0)∪(0，＋∞)思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学——————————规律·总结—————————————四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象．即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标．第二步：根据公式、定理确定分类标准．运用公式、定理对分类对象进行区分．第三步：分类解决“分目标”问题．对分类出来的“分目标”分别进行处理．第四步：汇总“分目标”．将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理．思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学1．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学解析：不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t6t＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝ca＝2c2a＝3t2t＝32.答案：A思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学[例2]已知a∈R，求函数f(x)＝x2|x－a|在区间[1,2]上的最小值．由参数变化而引起的分类讨论[思维流程]思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学[解]设函数f(x)＝x2|x－a|在区间[1,2]上的最小值为m.①当a≤1时，在区间[1,2]上，f(x)＝x3－ax2，因为f′(x)＝3x2－2ax＝3xx－23a0，x∈(1,2)，则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以m＝f(1)＝1－a.②当1a≤2时，在区间[1,2]上，f(x)＝x2|x－a|≥0，由f(a)＝0，知m＝f(a)＝0.思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学③当a2时，在区间[1,2]上，f(x)＝ax2－x3，f′(x)＝2ax－3x2＝3x23a－x.若a≥3，在区间(1,2)上，f′(x)0，则f(x)是区间[1,2]上的增函数，所以m＝f(1)＝a－1；若2a3，则123a2，当1x23a时，f′(x)0，则f(x)是区间1，23a上的增函数，当23ax2时，f′(x)0，则f(x)是区间23a，2上的减函数，思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学因此当2a3时，m＝f(1)＝a－1或m＝f(2)＝4(a－2)．当2a≤73时，4(a－2)≤a－1，故m＝f(2)＝4(a－2)，当73a3时，4(a－2)a－1，故m＝f(1)＝a－1.综上所述，函数的最小值m＝1－a，a≤1，0，1a≤2，4a－2，2a≤73，a－1，a73.思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学——————————规律·总结—————————————两类与参数有关的分类讨论问题(1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；(2)有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论．在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的．思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学2．(2013·东北三校联考)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间－12，12上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：－12，0f′(x)xf(x)＋0极大值00，12－思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学当x∈－12，12时，f(x)0等价于f－120，f120，即5－a80，5＋a80.解不等式组得－5a5.因此0a≤2.②若a2，则01a12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学f′(x)xf(x)－12，00极大值00，1a－1a0极小值1a，12＋＋思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学当x∈－12，12时，f(x)0等价于f－120，f1a0，即5－a80，1－12a20.解不等式组得22a5或a－22.因此2a5.综合①②，可知a的取值范围为(0,5).思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学[例3](2013·长沙模拟)在约束条件x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是()A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]根据图形位置或形状分类讨论思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学[思维流程][解析]由x＋y＝s，y＋2x＝4⇒x＝4－s，y＝2s－4，取点A(2,0)，B(4－s，2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．(1)当3≤s4时，可行域是四边形OABC，如图(1)所示．此时，7≤z8.思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学图(1)图(2)(2)当4≤s≤5时，此时可行域是△OAC′，如图(2)所示．zmax＝8.综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．[答案]D思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学——————————规律·总结—————————————几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图像形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学3．抛物线y2＝4px(p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的P点的个数为()A．2B．3C．4D．6解析：当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝x－p2＋y2，若x－p2＋y2＝p，则有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形；当x＝－2p时，与点P在抛物线上矛盾．所以符合要求的P点一共有4个．答案：C思想方法概述应用角度例析通法归纳领悟数学思想专练（三）质量铸就品牌品质赢得未来第三讲分类讨论思想数学1．中学数学教材中与分类讨论有关的知识点(1)绝对值的定义；(2)一元二次方程根的判别式与根的情况；(3)二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；(4)反比例函数y