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方案设计型问题一、考法分析方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致．本文从历年中考试题中，筛选出与之有关的部分题目，对其方案设计类型进行归类探究，以供参考．二、例题分析（一）、利用方程（组）进行方案设计例１“利海”通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．（１）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买．（２）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量．解：（１）设甲种型号手机要购买ｘ部，乙种型号手机购买ｙ部，丙种型号手机购买ｚ部，根据题意，得：①ｘ＋ｙ＝401800ｘ＋600ｙ＝60000，解得ｘ＝30ｙ＝10②ｘ＋ｚ＝401800ｘ＋1200ｚ＝60000，解得ｘ＝20ｚ＝20③ｙ＋ｚ＝40600ｙ＋1200ｚ＝60000，解得ｙ＝－20ｚ＝60（不合题意舍去）答：有两种购买方案：甲种手机购买30部，乙种手机购买10部；甲种手机购买20部，乙种手机购买20部．（２）根据题意，得：ｘ＋ｙ＋ｚ＝401800ｘ＋600ｙ＋1200ｚ＝600006≤ｙ≤8解得ｘ＝26ｙ＝6ｚ＝8或ｘ＝27ｙ＝7ｚ＝6或ｘ＝28ｙ＝8ｚ＝4答：若甲种型号手机购买26部手机，则乙种型号手机购买6部，丙种型号手机购买８部；若甲方型号手机购买27部，则乙种型号手机购买7部，丙种型号手机购买6部；若甲方型号手机购买28部，则乙种型号手机购买8部，丙种型号手机购买4部．例2某校组织360名师生去参观三峡工程建设，如果租用甲种客车若干辆，则刚好坐满；若租用乙种客车可少租1辆，且余40个空座位。（1）已知甲种客车比乙种客车少20个座位，求甲、乙两种客车各有多少座位？（2）已知甲种客车租金是每辆400元，乙种客车租金是每辆480元，这次参观同时租用这两种客车，其中甲种客车比乙种客车少租1辆，所用租金比单独租用任何一种客车要节省，按这种方案需用租金多少元？解（1）设甲种客车有x个座位，则乙种客车有（x＋20）个座位，依题意，得。整理，得x2＋600x－7200＝0解得x1＝60，x2＝－120（不合题意，舍去）答：甲种客车有60个座位，乙种客车有80个座位。（2）设租用甲种客车y辆，则租用乙种客车（y＋1）辆，由于单独租用甲种客车需6辆，单独租用乙种客车需5辆，租金都是2400元，依题意，得y＋480（y＋1）＜2400∴y＜，y的正整数值（车辆数）为1或2，当y＝1时，y＋1＝2，则60×1＋80×2＝220＜360，不合题意。当y＝2时，y＋1＝3，则60×2＋80×3＝360。此时租金为400×2＋480×2＝2240（元）。剖析本题是考查学生对实际问题的数据处理和计算能力，重在读懂题目，理解题意和弄清数量关系，通过阅读将实际问题分析，抽象，转化为相关的代数式，进而列出方程或不等式，最终解答数学问题。（二）、利用不等式进行方案设计例1光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往Ａ、Ｂ两地区收割小麦，其中30台派往Ａ地区，20台派往Ｂ地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金Ａ地区1800元1600元Ｂ地区1600元1200元（１）设派往Ａ地区ｘ台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为ｙ（元），求ｙ与ｘ间的函数关系式，并写出ｘ的取值范围．（２）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来．（３）如果要使这50召联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议．解：（１）若派往Ａ地区的乙型收割机为ｘ台，则派往Ａ地区的甲型收割机为（３０－ｘ）台；派往Ｂ地区的乙型收割机为（３０－ｘ）台，派往Ｂ地区的甲型收割机为（ｘ－１０）台．∴ｙ＝１６００ｘ＋１８００（３０－ｘ）＋１２００（３０－ｘ）＋１６００（ｘ－１０）＝２００ｘ＋７４０００，ｘ的取值范围是：１０≤ｘ≤３０（ｘ是正整数）（２）由题意得２００ｘ＋７４０００≥７９６００解不等式，得ｘ≥２８，由于１０≤ｘ≤３０，∴ｘ取２８，２９，３０这三个值∴有３种不同分配方案．①当ｘ＝２８时，即派往Ａ地区甲型收割机２台，乙型收割机２８台；派往Ｂ地区甲型收割机１８台，乙型收割机２台．②当ｘ＝２９时，即派往Ａ地区甲型收割机１台，乙型收割机２９台；派往Ｂ地区甲型收割机１９台，乙型收割机１台．③当ｘ＝３０时，即３０台乙型收割机全部派往Ａ地区；２０台甲型收割机全部派往Ｂ地区．（３）由于一次函数ｙ＝２００ｘ＋７４０００的值ｙ是随着ｘ的增大而增大，所以，当ｘ＝３０时，ｙ取得最大值，如果要使农机租赁公司这５０台联合收割机每天获得租金最高，只需ｘ＝３０，此时，ｙ＝６０００＋７４０００＝８００００．建议农机租赁公司交３０台乙型收割机全部派往Ａ地区；２０台甲型收割机全部派往Ｂ地区，可使公司获得的租金最高．例2某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，票可供持票者使用一年），年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类门票每张40元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次3元。（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。（2）求一年中进入该园林至少超过多少次，购买A类年票比较合算。解（1）不可能选A类年票。若选B类年票，则＝10（次）；若选C类年票，则＝13.3（次）；若不购买年票，则＝8（次）。所以计划用80元花在该园林的门票上时，选购买C类年票进入园林的次数最多，为13次较合算．（2）设至少超过x次时，购买A类年票比较合算。则，解之得所以一年中进入该园林至少超过30次，购买A类年票比较合算。（三）、利用函数进行方案设计例1某市的Ａ县和Ｂ县春季育苗，急需化肥分别为９０吨和６０吨，该市的Ｃ县和Ｄ县分别储存化肥１００吨和５０吨，全部调配给Ａ县和Ｂ县，已知Ｃ、Ｄ两县运化肥到Ａ、Ｂ两县的运费（元／吨）如下表所示．出发地运费ＣＤ目的地Ａ３５４０Ｂ３０４５（１）设Ｃ县运到Ａ县的化肥为ｘ吨，求总运费Ｗ（元）与ｘ（吨）的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围．（２）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案．解：（１）由Ｃ县运往Ａ县的化肥为ｘ吨，则Ｃ县运往Ｂ县的化肥为（１００－ｘ）吨，Ｄ县运Ａ县的化肥为（９０－ｘ）吨，Ｄ县运往Ｂ县的化肥为（ｘ－４０）吨，依题意Ｗ＝３５ｘ＋４０（９０－ｘ）＋３０（１００－ｘ）＋４５（ｘ－４０）＝１０ｘ＋４８００（４０≤ｘ≤９０）（２）∵Ｗ随着ｘ的减小而减小当ｘ＝４０时，Ｗ最小＝１０×４０＋４８００＝５２００（元）运费最低时，ｘ＝４０，故１００－ｘ＝６０，９０－ｘ＝５０，ｘ－４０＝０运送方案为：Ｃ县的１００吨化肥４０吨运往Ａ县，６０吨运往Ｂ县，Ｄ县的５０吨化肥全部运往Ａ县．例2某校办工厂生产了一批新产品，现有两种销售方案。方案一：在这学期开学时售出该批产品，可获利30000元，然后将该批产品的成本（生产该批产品支出的总费用）和已获利30000进行再投资。到这学期结束时再投资又可获利4.8%；方案二：在这学期结束时售出该批产品，可获利35940元，但要付成本的0.2%的作保管费。（1）该批产品的成本为x元，方案一获利y1元，方案二的获利为y2元，分别求出y1、y2与x的函数关系式；（2）当该批产品的成本是多少元时，方案一与方案二的获利一样的？（3）就成本x元，讨论该方案一好、还是方案二好。解：（1）y1＝30000＋（30000＋x）×4.8%；y2＝35940－0.2%·x即y1＝31440＋0.048x；y2＝35940－0.002x。（2）令y1＝y2，则31440＋0.048x＝35940－0.002x。解得x＝90000答：当该批产品的成本是90000元时，方案一与方案二的获利一样的。（3）令y1＞y2，即31440＋0.048x＞35940－0.002x。解得x＞90000，令y1＜y2，即31440＋0.048x＜35940－0.002x。解得x＜90000，答：当产品成本大于90000元时，选择方案一好。当产品成本小于90000元时，选择方案二好。剖析：分类讨论是一种重要的教学思想方法，本题是市场方案设计分类，所以它更具有鲜明的时代特色。（四）、通过计算比较进行方案设计例４居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问题，冬至是一年中太阳光相对地球北半球位置最低的时刻，只要此时楼房的最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，宁夏地区冬至时阳光与地面所成的角约为３０°，如图所示，现有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种设计方案提供的居民楼的高Ｈ（米）与楼间距Ｌ（米）的数据，如下表所示，仅就图中居民楼乙的采光问题，你认为哪种方案设计较为合理，并说明理由．解：根据题意：ｔａｎ３０°＝ＨＬ＝０．５７７３设计合理的楼房应满足：ＨＬ≤０．５７７３∵对于Ａ方案：１２１８≈０．６６６７＞０．５７７３，对于Ｂ方案：１５２５＝０．６＞０．５７７３，对于Ｃ方案：１６２８≈０．５７１４＜０．５７７３，对于Ｄ方案：１８３０＝０．６＞０．５７７３，∴Ｃ方案设计较为合理．三、练习1、辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆车装运A、B、C三种苹果到外地销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满。每种苹果不少于2车。（1）设有x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；（2）设此外销活动的利润为W（百元），求W与x之间的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。2、为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生身高作调查，现有三种调查方案：（1）测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；（2）查阅有关外地180名男生的身高的统计资料；（3）在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别10选出名男生，然后测量他们的身高。为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选_______________；理由______________________________。3、一种外形为圆柱体的易拉罐饮料，它的底面直径为6cm，高为10cm，单层直立码放在长方体的纸箱内，每箱4行，每行6个，易拉罐的底面印在箱底的痕迹如图所示。（1）请你设计两种节约纸的码放方案，使包装箱为长方形，每箱将24个，可以改变它的长和宽，高仍为10cm，把你的设计方案中易拉罐的底面印在箱底的痕迹示意图在下面的方格纸上，可以附方字说明。（2）某饮料厂的一条流水线每天生产的易拉罐饮料6×104个，按照你设计的方案分别比原来节约多少纸板（不计包装箱纸板的重叠部分）？4、一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5m,面积为1.5㎡，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人加工方法分别如图所示，请你用所学过的知识判断并说明谁的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）5.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为l万元，其原材料成本价（含设备损耗