数学建模-概率论问题MATLAB仿真求解程序 [兼容模式]

MATLAB概率论与数理统计程序设计MATLAB概率论与数理统计程序设计概率论部分胡尧概率论部分胡尧贵州大学理学院数学系贵州大学理学院数学系Eilih@dEmail:[e-mail]:16003915672014.7贵州师范学院主讲内容主讲内容一、概率基础与随机试验二、MonteCarlo仿真实验三、MonteCarlo积分四、随机数的产生五、建模案例分析一、概率分布与随机试验1.随机事件与概率基本概念、概率分布与随机试验基本概念：样本点、样本空间、随机事件、概率、样本点、样本空间、随机事件、概率、独立性、测度、代数、概率测度空间基本公式：加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes公式概率模型：古典概型、几何概型、Bernoulli概型概率模型：古典概型、几何概型、Bernoulli概型样本空间随样本空间随机样本随机事件试验本点验对立完备事件组,,,-,互不相容，,概率条件概率概率的定义及性质非负性可列可加性非负性完整性可列可加性其它运算公式可测空间、代数古典/几何概测空率度间Buffon可测空间、代数古典/几何概型率度间Buffon问题概率公理化抽样概率公理化定义及计算抽样模型Bertrand悖论问题分房/生日De.Mere问题分赌本问题问题问题乘法公式样本空间划分条全概率公式条件概事件概率的独立性率Bayes公式独立性Bayes公式Bernoulli概型Bernoulli概型Bernoulli分布二几Pascal分布Bernoulli分布二项分几何分Pascal分布分布分布多项分布随机游动布布随机游动经典例题赌徒破产模型S.Banach火柴盒问题经典例题产模型火柴盒问题2.随机向量及概率分布2.随机向量及概率分布基本概念：随机变量Ｒ.V.、分布律、概率密度pdf分布函数CDF随机变量函数的分布常用随机变量分布函数CDF、随机变量函数的分布常用随机变量：Bernoulli分布、Poisson分布、Geometric分布Bernoulli分布、Poisson分布、Geometric分布Uniform分布、Exponential分布、Guass分布R.V.DiscreteR.V.分布律几类常用的DiscreteRVDiscreteR.V.0-1分布Ｂinomial分布Ｂinomial分布Poisson分布几何、超几何、负二项等RVContinuousR.V.R.V.常用的ContinuousR.V.pdfＥxponential分布Uniform分布Normal分布p分布Nomemory性P{cXd}两个参数的意义查表随机变量的分布函数随机变量的分布函数单调不减性归性右连续性归一性F(x)…f(x)非负性非负性P{aXb}连续型随机变量的概率密度的概率密度3.随机变量的数字特征基本概念与定义：基本概念与定义：数学期望、方差、协方差、相关系数及矩阵形式数学期望、方差、协方差、相关系数及矩阵形式条件期望、GeneratingFunction、矩Moment特征函数、EntropyandInfermation、中心矩期望方差性质、常用随机向量的数学期望及方差数学期望的定义DiscreteContinuous数学期望的性质随机变量函数常用随机变量的期望常用随机变量的期望),1(~pBernoulliXEXp~(,)XBinomialnpEXnp)(~PoissonXEX)(~pGeometricX1EXVarXpqVarXnpqVarXqVarX)(PoissonXEX)(pGeometricXEXp),(~baUniformX2abEX1),(~2NormalXEXVarX2VarXp2()12baVarX2VarX)(~lExponentiaX1EX),(~GammaXEX21VarX2VarX4.理论与试验并重概率论与数理统计模拟仿真试验投色子试验投币试验离散型与连续型随机变量分布图形试验Poisson分布试验Poisson定理试验二项分布试验维与维正态分布试验CLT试验一维与二维正态分布试验CLT试验经验分布试验点估计的相合性与无偏性试验经验分布试验点估计的相合性与无偏性试验假设检验中第第二类错误演示试验假设检验中第一、第二类错误演示试验二MtCl仿真实验二、MonteCarlo仿真实验MCl仿真原理MonteCarlo方法的的基本思想是首先建立一个概率模型，使所MonteCarlo仿真原理求问题的解正好是该模型参数或其他有关特征量，然后通过模拟统计试验即多次随机抽样试验（确定和）统计拟————统计试验，即多次随机抽样试验（确定m和n）,统计出某事件发生的百分比，只要试验次数很大，该百分比就近拟于事件发生的概率。这实际上就是事件发生概率的统计定义。利用建立的概率模型求出要估计的参数MonteCarlo属于试验数学建立的概率模型，求出要估计的参数。MonteCarlo属于试验数学的一个分支。Buffonproblem平面上画着一些间隔距离相等MonteCarlo仿真案例-1Buffonproblem平面上画着些间隔距离相等的平行线,它们之间的距离等于a（a＞0）,在某一高度向此平面任投一长度为l（l＜a）的针,求此针与平行线相交的概率.长度为l（l＜a）的针,求此针与平行线相交的概率解:以x表示针的中点到最近平行线的距离,表示该平行线与针的交角由于有00ax，故角,由于有0,02x，故(,)|0,0aGxx(,)|0,02Gxxxaal2asin2lGlxOg事件A｛针与平行线相交｝发生il即事件A=｛针与平行线相交｝发生sin2x,即()|i()l(,)|sin,(,)2lgxxxG于是得于是得()()AAmSPA0sin22ldgl的面积()()PAmS22aGa的面积注(Remark):①已知l、a则可求()PA;①已知l、a,则可求()PA;②已知()PA,l、a则可求;③计算机模拟:Monte-Carlo方法/McMc:MarkovchainMontecarlo方法.③计算机模拟:MonteCarlo方法/McMc:MarkovchainMontecarlo方法.MATLAB实现Buffon问题仿真求解程序程序1clearall;L=1;%针的长度；平行线间的距离（）程序1d=2;%平行线间的距离（dL）；m=0;%统计满足针与线相交条件的次数并赋初值；n=10000;%投针试验次数fork=1:n%迭代次数fork=1:n%迭代次数x=unifrnd(0,d/2);%随机产生数的长度，即投针之后针中点与平行线的距离p=unifrnd(0,pi);%随机产生的针与线相交的角度ifx=L*sin(p)/2%针与线相交的条件m=m+1;%针与线相交则记数elseendendp=vpa(m/n,4)%n次中与平行线相交的次数的频率比，即相交的概率,vpa()以任意精度（4位小数点，默认值为32位）显示出来pi_m=vpa((2*L*n)/(m*d),15)%利用投针频率估计圆周率pi,vpa()以任意精度（15位小数点默认值为32位）显示出来位小数点，默认值为32位）显示出来p=.3207运行结果p.3207pi_m=3.11817898347365clearall;N=10;%循环迭代次数赋初值每次循环迭之后的针与线相交的概率的记录值程序2P=zeros(1,N);%赋初值，每次循环迭之后的针与线相交的概率p的记录值Pi_m=zeros(1,N);%赋初值，每次循环迭之后的圆周率pi_m的记录值fori=1:NL=1;%针的长度d=2;%平行线间的距离（dL）d=2;%平行线间的距离（dL）m=0;%统计满足针与线相交条件的次数并赋初值n=10000;%投针试验次数fork=1:n%迭代次数x=unifrnd(0,d/2);%随机产生数的长度，即投针之后针中点与平行线的距离p=unifrnd(0,pi);%随机产生的针与线相交的角度ifx=L*sin(p)/2%针与线相交的充要条件m=m+1;%针与线相交则记数elseendendp=m/n;%n次中与平行线相交的次数的频率比，即相交的概率pi_m=(2*L*n)/(m*d);%利用投针频率估计圆周率piP(1i)=p;%记录第i次循环之后的相交概率值P(1,i)=p;%记录第i次循环之后的相交概率值Pi_m(1,i)=(pi_m);%记录第i次循环之后的圆周率pi值i=i+1;%进入下次循环迭代endP=P;%无“;”则显示每次的相交概率值Pi_m=Pi_m;%无“;”则显示每次的圆周率pi值P_mean=mean(P)%显示N次迭代之后的相交概率均值Pi_m_mean=mean(Pi_m)%显示N次迭代之后的圆周率pi均值P031820000000000运行结果P_mean=0.318250000000000Pi_m_mean=3.142648986529731赌徒输光问题MonteCarlo仿真案例-2两个赌徒甲、乙两人将进行一系列赌博。在每一局中甲获胜的概率为p，而乙获胜的概率为q(1pq)。在每一局后，失败者都要支付一元线给而乙获胜的概率为q(1pq)。在每局后，失败者都要支付元线给胜利者。在开始时甲拥有赌本a元，而乙拥有赌本b元，两个赌徒直到甲输光或乙输光为止。求甲输光的概率。通过理论分析可知甲输光的概率是：1b121()1bbpqabP1()1,1()2babpqpqpq模拟赌博过程思路：在每一次模拟中,随机产生一个数,如果该数小于p,说时赌徒甲获胜,相应甲得到一元钱,而乙付出一元钱；反之甲拿出一元钱给乙.这里对甲的赌本a、乙的赌应甲得到元钱,而乙付出元钱；反之甲拿出元钱给乙.这里对甲的赌本a、乙的赌本b、甲赢的概率p取不同的数值进行10000次赌博过程模拟，相应程序如下：clc;clear;closeall;a=10;%甲的赌本b=3;%乙的赌本p=0.55;%甲赢的概率计数设置为S=0;%计数设置为0N=10000;%模拟次数m=6;%设定随机数状态值（123456），改变这个值可以进行不同的实验rand('state',m);%设置随机数状态fork=1:N;fork=1:N;at=a;%初始化甲的赌本bt=b;%初始化乙的赌本whileat0.5&bt0.5;%模拟整个赌博过程r=[(randp)-0.5]*2;%算输赢at=at+r;%交换赌本bt=bt-r;%交换赌本endS=S+(at0.5);%如甲输，累加甲输的次娄endP=S/N%计算甲输的概率值g=p/[1-p];Po=[1-g^b]/[1-g^(a+b)]%返回甲输光的概率理论值P=0.0676P0.0676Po=0.0656Binomial(二项分布)的使用MC案例-3Galton板实验一个8级Galton板实验系统如下图(A)所示(源程序见后)和(B)所示(源程序见后)(源程序见后)和(B)所示(源程序见后)122122333444455555333444455555666666777777788888888123456789666666777777788888888123456789（A）（B）在图（A）中，当小球从顶部向下降落时，遇到第一层竖隔板，此时小球分别向左右下落的概率各占一半（05）；当小球继续下落遇到第二层竖隔板时，小球仍以左右下落的概率各占半（0.5）；当小球继续下落遇到第二层竖隔板时，小球仍以左右相同的概率往下落，以后每层均如此（如图（B）所示）。最后到了第8层底部，小球将落入底部9个槽中的一个但是小球落入每个槽内的概率是不一样的如查将球将落入底部9个槽中的一个。但是小球落入每个槽内的概率是不一样的。如查将这个