高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

第一章函数与极限复习题11、函数12xxxf与函数113xxxg相同．错误∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。∴12xxxf与113xxxg函数关系相同，但定义域不同，所以xf与xg是不同的函数。2、如果Mxf（M为一个常数），则xf为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列nnx1是有界数列，但极限不存在4、aannlim，aannlim．错误如：数列nna1，1)1(limnn，但nn)1(lim不存在。5、如果Axfxlim，则Axf（当x时，为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。6、如果～，则o．正确∵1lim，是∴01limlim，即是的高阶无穷小量。7、当0x时，xcos1与2x是同阶无穷小．正确∵2122sin412lim2sin2limcos1lim2022020xxxxxxxxx8、01sinlimlim1sinlim000xxxxxxx．错误∵xx1sinlim0不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。9、exxx11lim0．错误∵exxx11lim10、点0x是函数xxy的无穷间断点．错误xxx00lim1lim00xxx，xxx00lim1lim00xxx∴点0x是函数xxy的第一类间断点．11、函数xfx1必在闭区间ba,内取得最大值、最小值．第一章函数与极限复习题2错误∵根据连续函数在闭区间上的性质，xfx1在0x处不连续∴函数xfx1在闭区间ba,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设xfy的定义域是1,0，则（１）xef的定义域是（(,0)）；（２）xf2sin1的定义域是（,()2xxkxkkZ）；（３）xflg的定义域是（(1,10)）．答案：（1）∵10xe（2）∵1sin102x（3）∵1lg0x2、函数403000222xxxxxxf的定义域是（4,2）．3、设2sinxxf，12xx，则xf（221sinx）．4、nxnnsinlim＝（x）．∵xxnxnxnnxnxnnnnsinlim1sinlimsinlim5、设11cos11211xxxfxxxx，则10limxfx（2），xfx01lim（0）．∵1010limlim(1)2xxfxx，01limlim0101xxfxx6、设00cos12xaxxxxf，如果xf在0x处连续，则a（21）．∵21cos1lim20xxx，如果xf在0x处连续，则afxxx021cos1lim207、设0x是初等函数xf定义区间内的点，则xfxx0lim（0xf）．∵初等函数xf在定义区间内连续，∴xfxx0lim0xf8、函数211xy当x（1）时为无穷大，当x（）时为无穷小．∵2111limxx，011lim2xx9、若01lim2baxxxx，则a（1），b（21）．∵第一章函数与极限复习题3baxxxx1lim2baxxxbaxxxbaxxxx111lim222baxxxbaxxxx11lim222baxxxbxabxax11211lim2222欲使上式成立，令012a，∴1a，上式化简为222211212112limlimlim11111xxxbababxbabxabxxaxbaxxx∴1a，021ab，12b10、函数xxf111的间断点是（1,0xx）．11、34222xxxxxf的连续区间是（,3,3,1,1,）．12、若2sin2limxxaxx，则a（2）．200limsin2limsin2limaaxxaxxaxxxx∴2a13、xxxsinlim（0），xxx1sinlim（1），xxx101lim（1e），kxxx11lim（ke）．∵0sin1limsinlimxxxxxx111sinlim1sinlimxxxxxx1)1(1010)(1lim1limexxxxxxkkxxkxxexx)11(lim11lim14、limsin(arctan)xx（不存在），limsin(arccot)xx（0）三、选择填空：1、如果axnnlim，则数列nx是（b）a.单调递增数列b．有界数列c．发散数列第一章函数与极限复习题42、函数1log2xxxfa是（a）a．奇函数b．偶函数c．非奇非偶函数∵11log1)(log22xxxxxfaaxfxxa1log23、当0x时，1xe是x的（c）a．高阶无穷小b．低阶无穷小c．等价无穷小4、如果函数xf在0x点的某个邻域内恒有Mxf（M是正数），则函数xf在该邻域内（c）a．极限存在b．连续c．有界5、函数xfx11在（c）条件下趋于.a．1xb．01xc．01x6、设函数xfxxsin，则xfx0lim（c）a．１b．－１c．不存在∵1sinlimsinlimsinlim000000xxxxxxxxx1sinlimsinlim0000xxxxxx根据极限存在定理知：xfx0lim不存在。7、如果函数xf当0xx时极限存在，则函数xf在0x点（c）a．有定义b．无定义c．不一定有定义∵xf当0xx时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。8、数列１，１，21，２，31，３，…，n1，n，…当n时为（c）a．无穷大b．无穷小c．发散但不是无穷大9、函数xf在0x点有极限是函数xf在0x点连续的（b）a．充分条件b．必要条件c．充分必要条件10、点0x是函数1arctanx的（b）a．连续点b．第一类间断点c．第二类间断点∵001limarctan2xx001limarctan2xx根据左右极限存在的点为第一类间断点。11、点0x是函数x1sin的（c）a．连续点b．第一类间断点c．第二类间断点四、计算下列极限：1、nnnn31lim解31))1(3131(lim31limnnnnnnn第一章函数与极限复习题52、0tan3limsin2xxx解0tan3limsin2xxx2323lim0xxx（∵xx2sin,0～2,tan3xx～x3）3、xxxxxlimxxxxxlimxxxxxxxxxxxxxlimxxxxxx2lim111111lim2xxx4、nnnnn221lim解nnnnnnnnnnnnnnnnnn22222222111lim1lim11111112lim112lim222nnnnnnnnnnn5、xxxxxsinlim230021sin11limsin1limsinlim00002300xxxxxxxxxxxxxx6、11sinlim20xxxx222222220001111sinlimlimlim11(11)(11)xxxxxxxxxxxxx第一章函数与极限复习题620lim112xx7、11lim0xxx11lim111lim11lim000xxxxxxxxx8、1lim1xxxx111lim1lim11xxxxxxxx9、30tansinlimxxxx23330001sin1costansin112limlimlimcoscos2xxxxxxxxxxxxxx(∵210,1cos2xxx,sinx)10、xxx2cos1lim00解21221lim2cos1lim20000xxxxxx(∵xxcos1,0～221x)11、1lim1xxxx解121111limlim111xxxxxxexxeex12、xxx11lnlim第一章函数与极限复习题7解xxx11lnlim111limln11lnlimxxxxxx13、xxxxxcoscoslim解cos1coslimlim1coscos1xxxxxxxxxx14、1112lim21xxx解2211121111limlimlim11112xxxxxxxx15、44334lim2xxx解44443333414limlim1221xxxxxx16、xxxcos1sinlim00解0000002sinsinsinlimlim2lim21cos12xxxxxxxxx17、11321211limnnn解11321211limnnn1113121211limnnn1111limnn