5113(2)第七章 带电粒子和电磁场的相互作用

第七章带电粒子和电磁场的相互作用运动带电粒子的势和辐射电磁场、带电粒子的电磁场对本身的反作用、电磁波的散射和吸收本章讨论带电粒子与电磁场的相互作用，这是进一步认识许多物理过程的本质，以及物质微观结构的重要基础。我们首先在一般情况下讨论带电粒子产生电磁场问题，求出任意运动的带电粒子产生的电磁势表达式。这样，原则上对任何带电体系都可通过叠加而求得它的势和场。本章还要着重讨论带电粒子的辐射以及电磁场对粒子自身的作用力。计算以任意速度相对某参考系运动的带电粒子激发的电磁场时，最基本的公式仍是推迟势。因推迟势只与粒子的运动速度有关而不依赖于粒子的加速度，因此可在粒子的静止参考系与任意参考系之间，对四维势作洛仑兹变换。第1节运动带电粒子的势和辐射电磁场()()erxxtctt一、李纳-维谢尔势1898带电粒子在外力作用下沿某一特定运动。在场点x处，在时刻t的势是粒子在较早的时刻t’激发的，该时刻粒子处于xe(t’)点上，其运动速度为v(t’)，粒子与场点的距离为：0(,)(,)4VrjxtcAxtdr0(,)1(,)4Vrxtcxtdr对带电粒子，j=v，v为粒子在辐射时刻t’=t-r/c的速度。由上式看出，势依赖于粒子运动的速度，但不依赖于加速度。选择一在粒子辐射时刻与粒子相对静止的参考系，在其上观察，(x，t)点上势的瞬时值与静止点电荷的势相同，即为计算带电粒子激发的势，我们把粒子看作在小体积内电荷连续分布的极限。由推迟势的一般公式：0,0,()4qArcttrq为粒子的电荷；静止参考系上观察的粒子与场点的距离为r变回原参考系上：在上观察，粒子在时刻t’的运动速度为v，因此v也即参考系相对于的运动速度。对上述势应用洛伦兹变换：在与∑系之间，粒子到场点的距离r与r的洛仑兹变换是：22222()()()(2)11evvttxxrrccrcttcvcvc0,0,()(1)4qArcttr任意方向洛仑兹变换——参考系间的相对运动方向不平行于x轴22222()1(1)1,/11rvvvtrrvvtvrtvvc(,)iAAc四维势矢量：四维矢量在洛伦兹变换下与四维坐标(x1,x2,x3,x4)的变换相同11411422223333414414xxixAAiAxxAAxxAAxixxAiAA1142233414AAiAAAAAAiAA逆变换2(1),1(1)1vc2222222222110011xxyyzzxvvAccAvvccAAAAvAvvcc李纳-维谢尔(Lienard—Wiechert)势：已知在粒子辐射的t’时刻与粒子相对静止的参考系上(x，t)点的势，变换到原参考系上的势，参考系相对于的运动速度即粒子在时刻t’的运动速度v，取v的方向沿x轴0,04qAr1142233414AAiAAAAAAiAA逆变换222221(3)1vcAvcvc注：此式右边各量都是在时刻t’=t-r/c上取值，如v=v(t’)，r=x-xe(t’)都是t’的函数。22()(2)1vrrcrcttvc00(1)4Aqr把(1)(2)代入(3)，得——004()4()qvAvrrcqvrrc注*：用任意方向洛仑兹变换的逆变换，更易推出上述结果2222444()1(1),111ivixxxxvvxxxvvv二、李纳-维谢尔势对应的电磁场强把势对场点坐标x和t求导可得电磁场强——0*0*0044()144()qvqAvcsrrcqqvsrrcAEtBA*ˆˆ(1)rvnrcsrnn即t’时刻的辐射方向,**00144qqAcss,AEBAt**200*1144sqqss**2*00*144Aqqtctscscsvtts****20044qqAcsccssvs以下略……=*30*2ˆˆ()41ˆ()()1ˆˆ(1)()ˆ(1)()qrrEnnscBnEcrtvtvdvnsrnrtcccdnt得到相对于∑系作任意运动的带电粒子激发的电磁场：由上式可看出：电场和磁场都是由两部分组成——1、第一部分场的特点：与粒子速度有关，振幅与距离的平方成反比；这部分场与电荷联系在一起，它不辐射能量，即不辐射电磁场，称为感应场或自有场E式右边各量都是t’时刻的值！222*32003ˆ(1)()ˆ(1)()ˆ44(1)1ˆvvnqrqccEnsrvncBnEcininin*3003ˆˆ()ˆˆ()ˆ44(1)1ˆvnnvqrrecEnnscrvncBnEcrarara第一部分场2、第二部分场的特点：与粒子速度和加速度有关，振幅与距离的一次方成反比，可辐射能量，故称为辐射场或加速度场，且E、B、n三者满足右手螺旋法则辐射场的瞬时能流密度：即带电粒子在t’时刻激发的场在t时刻经过场点x的辐射能流密度002220226011ˆ()ˆˆ()ˆˆˆ16(1)SEHEBEnEcnnqcEnncrnrarararararara瞬时辐射功率角分布：t’时刻辐射到(,)方向单位立体角内的功率222250ˆˆ()()ˆ||(1)ˆ16(1)nndptqSnrdcn讨论：1）做匀速直线运动的带电粒子激发的场2*30ˆ(1)()41ˆqrEnsBnEc=*30*2ˆˆ()41ˆ()()1ˆˆ(1)()ˆ(1)()qrrEnnscBnEcrtvtvdvnsrnrtcccdntt’时刻带电粒子位于O1，其到场点P的距离为r(t’)；t时刻带电粒子运动到O2，其到场点P的距离为r(t)22*3300(1)()ˆ(1)()44()qrqrrEnsrr由匀速直线运动得=(1)121122()()rOOvttvrcrrOPOOOPrt()rtvP’QO2,tO1,t’()rt以下若不加特殊说明，r默认为r(t’)(2)121112cos||cos||||||||||cos()cosrrrrrOOrOQOPOQQPOPrt1212()()OOrrrtOPrtOP由O1O2P的正弦定理(3)12122||sinsinsinsin()||cos1sinOOrrOP()rtvP’QO2,tO1,t’()rt230(1)()4()qrrErr将(1)(2)(3)代入左式，得232322023222()(1)4()1sin(1)1sinqrtErtE静电场1122()()()()()()ˆ()()rtOPOOOPrtrtrrtrtrtnrrtrt1ˆBnEc代入2323220232322201ˆ1()(1)()4()1sin1()(1)4()1sin()()BnEcrtqcrtrtqrtrtrtvEcrtc232222(1)1sinEEvBEc静电场最终得匀速直线运动的带电粒子激发的场对比第六章P221-例注：上式右边各量都是t’时刻的值！通常取t’时刻的方向为z轴，若此时其与的夹角为，则总结：真空中，匀速直线运动的电荷不产生辐射；加速运动的电荷一定产生辐射。2）低速运动（非相对论性）的带电粒子的辐射：带电粒子速度vc，则将0代入瞬时辐射功率角分布222222500ˆˆˆˆ()()ˆ1616(1)nnqnndptqdccn()tˆ()nt2222222300ˆˆ()||sin1616qnndptqvdcc将上式对任意方向积分，得拉莫尔公式——223223300()||sin||()166dptqvqvPtddddcc上式表明：瞬时辐射总功率与粒子在辐射的t’时刻的加速度的平方成正比。VpxdV由电荷体系的电偶极矩定义则运动电荷的电偶极矩可写为()()eptqxt223300||||()()()()66eqvpptqxtqvtPtcc上式表明：低速运动带电粒子的辐射可看做偶极辐射，与Chap5-3中的电磁波的电偶极辐射功率规律类似，相差1/2的因子是由于后者为平均辐射功率，而前者为瞬时辐射总功率230||12pPc注：尽管低速运动带电粒子的辐射可看做偶极辐射，但它与以角频率为作简谐振动的电偶极子有着本质区别！前者所辐射的是连续谱，而后者辐射的是单色波。质子或离子在回旋加速器中做圆周运动时，其辐射来自向心加速度，也即同步辐射，当速度较低时，该辐射与拉莫尔公式相同。卢瑟福行星原子模型的不稳定性：电子绕核作圆周运动，向心加速度导致电磁辐射，电子在辐射中损失能量，轨道半径随之减小，最后电子必然落到原子核上。例：根据本节估算原子能够存在的时间。假定氢原子的电子绕核作圆周运动，按牛顿力学22222001428mveemvrrr电子的总机械能为222001248eeUmvrr实验测得氢原子的结合能为B=－U=13.6eV，由此数据可得氢原子内电子的最大轨道半径和相应速度为——r0=0.52×10-10m，v0=2.2×106m/s因此原子内的电子是低速的非相对论粒子222222002222332000633324044||()66496mvevearrrmrqveePtc