一阶倒立摆控制系统设计

倒立摆课程设计报告1课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号倒立摆课程设计报告2课程设计（论文）任务书专业自动化班级0902101学生指导教师题目一阶倒立摆课程设计子题设计时间2013年2月25日至2013年3月8日共2周设计要求设计（论文）的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容。1．建立一阶倒立摆数学模型2．做模型仿真试验（1）给出Matlab仿真程序。（2）给出仿真结果和响应曲线。3．倒立摆系统的PID控制算法设计设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4．倒立摆系统的最优控制算法设计用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度和小车位移x的稳定时间小于5秒（2）x的上升时间小于1秒（3）的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。指导教师签字：系（教研室）主任签字：2013年3月5日倒立摆课程设计报告3目录一、建立一阶倒立摆数学模型.............................................................................................41.一阶倒立摆的微分方程模型......................................................................................42.一阶倒立摆的传递函数模型......................................................................................63.一阶倒立摆的状态空间模型......................................................................................7二、一阶倒立摆matlab仿真................................................................................................9三、倒立摆系统的PID控制算法设计..............................................................................13四、倒立摆系统的最优控制算法设计.................................................................................23五、总结..................................................................................................错误!未定义书签。六、参考文献.......................................................................................................................29倒立摆课程设计报告4一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。系统内部各相关参数定义如下：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆课程设计报告5图1-2小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。倒立摆课程设计报告6合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：（1-8）设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ1弧度，则可以进行近似处理：0)(,sin,1cos2dtd。用u代表被控对象的输入力F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：2.一阶倒立摆的传递函数模型对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：或如果令错误!未找到引用源。，则有：把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：（1-9）（2-5）（2-1）（2-2）（2-3）（2-4）倒立摆课程设计报告7整理后得到传递函数：其中。3.一阶倒立摆的状态空间模型设系统状态空间方程为：方程组（2-9）对x..解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：摆杆的惯量为231mlI，代入（1-9）的第一个方程为：（2-6）（3-1）（3-1）（3-2）（3-3）倒立摆课程设计报告8得：化简得：设xuxxx..'[],..则有：4.实际系统的传递函数与状态方程实际系统的模型参数如下:M小车质量0.5Kgm摆杆质量0.2Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI摆杆惯量0.006kg*m*m（3-4）（3-5）倒立摆课程设计报告9代入上述参数可得系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：以小车加速度为输入的系统状态方程：二、一阶倒立摆matlab仿真实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真。（4-2）（4-3）（4-4）（4-1）（4-5）倒立摆课程设计报告10M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*mT采样时间0.005秒1.传递函数法Matlab程序如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;num=[m*L/q00]den=[1b*(I+m*L^2)/q-(M+m)*m*g*L/q-b*m*g*L/q0];[r,p,k]=residue(num,den);s=p;得到传递函数的分子：num=2.356600以及传递函数分母:den=1.00000.0883-27.8285-2.30940开环极点：s=倒立摆课程设计报告11-5.27805.2727-0.08300由此可知，系统传递函数的多项式表达式为：2432()2.3566()0.088327.82852.3094ssGsUsssss（2-1）系统的开环极点为（s):2780.51s、2727.52s、0830.03s、40s，由于有一个开环极点位于S平面的右半部，开环系统并不是稳定的。系统的脉冲响应如下，由图也可见，系统并不稳定。00.511.505101520253035404550System:sysTime(sec):0.916Amplitude:27.6System:sysTime(sec):0.885Amplitude:23.4ImpulseResponseTime(sec)Amplitude图2.1开环系统脉冲响应2.状态空间法状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。为了更具挑战性，给小车加一个阶跃输入信号。我们用Matlab求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。在这里给出一个state.m文件，执行这个文件，Matlab将会给出系统状态空间方程的A，B，C和D矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2N的阶跃信号时系统的响应曲线。state.m程序如下：倒立摆课程设计报告12p=I*(M+m)+M*m*L^2;A=[0100;0-(I+m*L^2)*b/p(m^2*g*L^2)/p0;0001;0-(m*L*b)/pm*g*L*(M+m)/p0]A=01.0000000-0.08830.629300001.00000-0.235727.82850B=[0;(I+m*L^2)/p;0;m*L/p]B=00.883202.3566C=[1000;0010]D=[0;0]C=10000010D=00matlab仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示，系统并不稳定。倒立摆课程设计报告1300.511.522.50102030405060708090100cartpositionpendulumangle图2.2系统开环阶跃响应曲线三、倒立摆系统的PID控制算法设计1.实验要求与目的要求：设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真目的：进一步熟悉PID控制器的设计方法，步骤，以及P、I、D三参数的调节方法。2.理论分析PID控制原理在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。常规PID控制系统原理框图如下图所示。系统由模拟PID控制器KD(S)和被控对象G(S)组成。PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值)(tr与实际输出值()yt构成控制偏差)(te()()()etrtyt将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。其控制规律为倒立摆课程设计报告14dttdeTdtteTteKtuDtIP)()(1)()(0或写成传递函数的形式sTsTKsEsUsGDIP11)()()(式中：PK——比例系数；IT——积分时间常数；DT——微分时间常数。在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成sKsKKsEsUsGDIP)()()(式中：PK——比例系数；IK——积分系数；DK——微分系数。简单说来，PID控制器各校正环节的作用如下：（1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号)(te，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。（2）积分环节：主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。积分作用的强弱取决于积分时间常数IT，IT越大，积分作用越弱，反之则越强。（3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。摆杆角度控制这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如下：图中)(sKD是控制器传递函数，)(sG是被控对象传递函数。考虑到输入0)(sr，结构图可以很容易地变换成倒立摆课程设计报告15该系统的输出为)())(())(()()())(())((1)()()(1