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高中数学新课程教学思考江苏省教育科学研究院李善良博士高中数学新课程的教学思考把准高中数学课程目标把准高中数学整体脉络把准基础内容教学要求把准教科书的编写意图把准课堂教学的着力点一、把准高中数学课程目标基础知识、基本技能数学能力情感态度价值观高中数学课程标准的课程目标知识、技能：基础知识、基本技能。数学能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理；数学地提出、分析和解决问题、数学表达和交流、独立获取数学知识；应用意识、创新意识，对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。情感、态度、价值观兴趣、信心、精神、态度；数学视野、认识数学价值、批判性的思维习惯、理性精神、美学意义，辩证唯物主义世界观。关于基础知识与基本技能：获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。二、把准高中数学整体脉络函数几何算法、概率、统计其他数学探究数学建模1.函数集合函数、指数函数、对数函数三角函数、三角恒等变换、解三角形数列不等式导数及其应用（选修3，4）2.几何向量：平面向量，空间向量立体几何：立体几何初步，空间向量与立体几何解析几何：直线和圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程球面几何等3.算法、概率、统计算法：算法初步、框图概率：概率初步、计数原理，概率统计：统计初步、统计案例4.其他内容常用逻辑用语复数推理与证明附1：对函数的定位1.对函数内容的改革旨在加强对函数本质的理解函数内容是高中数学课程的一条主线函数内容的改革旨在加强对函数本质的理解高中函数内容的安排在螺旋上升中不断深入关注函数思想的体验和运用合理地使用信息技术，旨在帮助学生更好地认识和理解函数及其性质2.函数内容的知识链必修数学1：函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；必修数学4：基本初等函数II（三角函数）；必修数学5：数列；选修系列1-1、选修系列2-2：导数及几其应用。3.对函数内容的定位和基本要求把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习，是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型；强调对函数本质的认识和理解，因此要求在高中数学学习中多次接触、螺旋上升；关注背景、应用、整体性、思想性；4.对函数内容处理的变化（1）强调函数是刻画现实事物变化规律（运动变化）的模型。（2）突出函数的本质——依赖关系、对应关系，一种特殊的关系。（3）对背景和应用的思考。（4）注重联系——纵向的和横向的，与其它各学科之间的。（5）强调在整个高中数学中多次接触函数概念，逐步加深对函数实质的真正理解——当你看到“函数”一词时你想到了什么？当你看到函数记号时，你的反映是什么？。（6）削弱和淡化了一些内容。上述变化的目的是更好地把握函数的本质，用于实际和进一步学习起到好的导向作用，这些变化在已经历的教学中的情况如何？5.对函数“三要素”要求的变化了解函数的构成要素，会求一些减单函数的定义域和值域，这也是与原有内容很不同的地方。减弱了求定义域、值域的要求，尤其是要避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题，进行过于繁琐的技巧训练。对现实教学情况的反思。6.关于“反函数”的变化削弱了反函数的概念，只以具体函数为例进行解释和直观理解，通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y＝ax(a＞0，a≠1和对数函数y＝logax(a＞0,a≠1）互为反函数，不一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。互为反函数的两个函数的图象间关于直线y=x对称的性质，只通过具体函数讨论。7.关于指、对、幂函数的要求与变化幂、指、对数函数强调作为三种不同的函数增长模型突出背景和应用。安排了“幂增长、指数增长、对数增长的比较”。现代生活中，常碰到“函数增长”、“指数爆炸”等概念。结合实例体会指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.为扩展学生的知识面，建议学生收集有关直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的实际问题，交流对这三种函数类型增长的看法。8.函数与微积分微积分的研究对象中学生学习微积分的教育价值对中学微积分的要求与处理上的变化为什么有这些变化？9.变化的原由一是强调数学的本质和对数学整体的认识；二是贴近学生的认知规律；三是贴近生活，感受数学的价值。突出数学本质。例如：当提到函数的时候，要强调函数是一种重要的数学模型，是一种对应关系，要说明函数的整体性，明确“三要素”，但是，弱化了求定义域和值域的技巧。让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系、对应关系，认识生活中的函数和数学的价值，期望使学生遇到问题的时候，会有一种“想到函数”的潜意识产生。对现实教学情况的反思。10.为什么要讲背景？是使学生获得对数学、对数学价值认识的需要；是数学学习的需要，使学生了解概念、结论等产生的背景，产生学习数学的冲动和欲望，即是学习情感上的需要。对现实教学情况的反思。11.为什么要讲应用？20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。数学正在从幕后走向台前，在许多方面直接为社会创造价值。我国的数学教育中的不足与问题：在很长一段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，使得学生对数学的兴趣日趋减少，认为数学就是做题，学数学没用，也就是升学有用。实践表明，开展数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。12.加强知识间的联系横向联系：函数与方程函数与不等式函数与数列函数与算法函数与微积分纵向联系：整个高中数学中多次涉及，反复体会，螺旋上升学习函数。13.为什么要讲联系？为什么要讲联系？是数学学科特点的需要，是数学学习的需要，是新课程模块结构的需要。如何讲联系？数学内部的联系——内容上的联系（包括横向联系和纵向联系）。——方法上的联系。数学外部的联系——与其它学科的联系。——与现实社会、日常生活的联系。附2.几何课程的设计与定位1.对几何课程的改革力图稳步发展几何课程是基础教育中数学课程的一条主线几何课程内容的改革从义务教育阶段入手高中几何课程分阶段、分层次、递进设计强调培养和发展把握图形、空间想象与几何直觉能力强调数形结合思想的体验和运用全面地看待推理与证明在几何中的地位2.几何课程的知识链数学2立体几何初步平面解析几何初步数学4平面上的向量选修1圆锥曲线与方程选修2圆锥曲线与方程空间中的向量与立体几何选修3球面上的几何对称与群选修4几何证明选讲欧拉公式与闭曲面分类矩阵与变换三等分角与数域扩充坐标系与参数方程3.新课程对几何课程的定位培养和发展学生把握图形的能力；培养和发展学生的空间想象能力；培养和发展学生的推理能力；培养和发展学生的几何直觉能力，提升几何直观的思想方法；突出了用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。4.立体几何的变化——与以往高中数学课程中的立体几何内容相比，《标准》中立体几何内容的变化主要表现在几何定位的变化，几何内容处理方式的变化以及几何内容的分层设计等方面。5.立体几何的定位培养和发展学生把握图形的能力；培养和发展学生的空间想象能力；培养和发展学生的推理能力；培养和发展学生的几何直觉能力，提升几何直观的思想方法。6.立体几何内容处理的变化（1）合情推理与逻辑推理（演绎推理）的有机结合，力图避免以往几何课程中以论证几何为主线展开几何内容造成的过于形式化，以及由此给学生带来的困难，使学生在自然的探索过程中学习数学的思考方式。（2）从整体到局部的设计，以更贴近学生的认知规律。（3）体现直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的几何学习过程。7.新课程在立体几何内容安排上的分层设计分阶段设计、递进设计。分阶段设计分层设计在模块和专题上的体现——分阶段：必修数学2、选修1-1、选修2-1、选修3、选修4。递进设计立体几何内容的分层设计，在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质。对于进一步的论证与度量则放在选修系列2-1中用向量处理。分层设计的原则“立体几何初步”这一部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。内容递进的第一个层次这部分内容的展开，首先借助于丰富的实物模型或运用计算机软件所呈现的空间几何体，通过对这些空间几何体的整体观察，帮助学生认识其结构特征，运用这些特征描述现实生活中的一些简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。1.1空间几何体的结构特征通过结构特征认识几何体通过结构特征认识几何体\\通过结构特征认识几何体通过结构特征认识几何体通过结构特征认识几何体通过结构特征认识几何体内容递进的第二个层次在上述基础上，以长方体为载体，直观认识和理解体会空间的点、线、面之间的位置关系，抽象出空间线、面的位置关系的定义，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并了解一些可以作为推理依据的公理和定理。以长方体为研究点、线、面位置关系的载体，从学生最熟悉的几何体入手，以学生已有的知识为起点。内容递进的第三个层次再以空间几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认，归纳出一些判定定理与性质定理。并对性质定理加以逻辑证明，至于判定定理，在选修系列2中，用向量的方法加以严格的证明。要求学生能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题，学会一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明内容递进的第四个层次利用向量来解决立体几何问题是学习空间向量这部分内容的重点，也是立体几何学习的第四个层次。要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。8.需要探索的问题如何把握好分阶段、分层次、递进的过程（不是一次到位）合情推理和演绎推理的有机结合向量法和综合法的恰当运用推理论证的度初高中的衔接9.平面解析几何的内容必修数学2平面解析几何初步选修1-1圆锥曲线与方程选修2-1圆锥曲线与方程10.平面解析几何的定位突出了用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。具体地说：（1）强调数形转换、数形结合这一重要的思想方法。例如，在必修数学2中具体体现在：首先探索确定直线和圆的几何要素，再用坐标表示他们，根据确定直线和圆的几何要素探索建立直线和圆的方程的几种形式。学习和体会用解析几何解决问题的“三部曲”。（2）强调几何背景和学生发展的需要。例如，与原课程相比，《标准》更强调圆锥曲线的来龙去脉，更强调其几何背景。《标准》改变了原来的缺乏层次，要求单一的设计，对于不同的学生设计了不同的层次，如对希望在人文、社会科学等方面发展的学生，更强调对椭圆这一特殊的圆锥曲线有一个比较全面的了解，而其他的圆锥曲线只作一般性了解。这样做，在很大的程度上，是关注学生自身的发展与需要。高中阶段对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在本模块中，在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，学生将学习圆锥曲线与方程，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，认识圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。圆