§19.1--含参量正常积分--数学分析课件(华师大-四版)-高教社ppt-华东师大教材配套课件

一、含参量正常积分的定义二、含参量正常积分的连续性三、含参量正常积分的可微性对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分,它可用来构造新的非初等函数.含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式.§1含参量正常积分数学分析第十九章含参量积分*点击以上标题可直接前往对应内容四、含参量正常积分的可积性五、例题数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社(,)fxy[,][,]Rabcd设是定义在矩形区域上的定义在[,]cd上以y为自变量的一元函数.(,)fxy[,]cd在上可积,()(,)d,[,](1)dcxfxyyxab是定义在[,]ab上的函数.二元函数.§1含参量正常积分定义连续性可微性含参量正常积分的定义例题可积性上的定值时,函数是(,)fxy[,]ab当x取倘若这时后退前进目录退出则其积分值数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社{(,)|()(),}Gxycxydxaxb其中c(x),d(x)191图OyxbaG()ycx()ydx§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上的二元函数,一般地,设(,)fxy为定义在区域[(),()]cxdx上可积,()()()(,)d,[,](2)dxcxFxfxyyxab是定义在[,]ab上的函数.[,]ab若对于上每一固定的x值,(,)fxy作为y的函数在闭区间则其积分值[,]ab上的连续函数,为定义在数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社()Ix()Fx用积分形式(1)和(2)所定义的这函数与通称为定义在[,]ab上的含参量x的(正常)积分,或简称为含参量积分.§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社含参量正常积分的连续性§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性定理19.1（）()x的连续性(,)fxy若二元函数在矩形区域[,][,]Rabcd上连续,()(,)ddcxfxyy在[a,b]上连续.则函数数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社由于(,)fxy在有界闭区域R上连续,1212||,||,xxyy就有1122|(,)(,)|.(4)fxyfxy()()[(,)(,)]d,(3)dcxxxfxxyfxyy于是1122(,)(,)xyxy与，证设对充分小的[,],xab,[,]xxxab有(若x为区间的端点,则仅考虑00xx或),0,0,即对任意总存在对R内任意两点§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性从而一致连续.只要数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社|()()|xxxd().dcxdc即I(x)在[,]ab上连续.同理可证:若(,)fxy在矩形区域R上连续,量y的积分()(,)d(5)bayfxyx在[c,d]上连续.所以由(3),(4)可得,||,x当时§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则含参|(,)(,)|ddcfxxyfxyy数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社若(,)fxy在矩形区域R上连续,0[,],xab都有00lim(,)dlim(,)d.ddccxxxxfxyyfxyy这个结论表明,定义在矩形区域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可以交换的.[,][,][,],abcdcd上连续可改为在上连续其中为任意区间.注2由于连续性是局部性质,定理19.1中条件f在注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则对任何数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定理19.2（的连续性）()Fx(,)fxy若二元函数在区域{(,)|()(),}Gxycxydxaxb()()()(,)d(6)dxcxFxfxyy在[,]ab上连续.§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性证对积分(6)用换元积分法,()(()()).ycxtdxcx则函数其中c(x),d(x)为[,]ab上的连续函数,上连续,令数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社d(()())d.ydxcxt所以从(6)式可得()()()(,)ddxcxFxfxyy10(,()(()()))(()())d.fxcxtdxcxdxcxt由于被积函数(,()(()()))(()())fxcxtdxcxdxcx在矩形区域[,][0,1]ab上连续,(6)所确定的函数F(x)在[a,b]连续.§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性当y在c(x)与d(x)之间取值时,t在[0,1]上取值,且由定理19.1得积分数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社含参量正常积分的可微性定理19.3（）()x的可微性(,)fxy若函数与其偏导数(,)xfxy都在矩形区域[,][,]Rabcd上连续,则函数()(,)ddcxfxyy在[,]ab上可微,d(,)d(,)d.dddxccfxyyfxyyx且§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社[,]ab[,]xxab证对于内任意一点x,设(若x为区间的端点,就讨论单侧导数),()()(,)(,)d.dcxxxfxxyfxyyxx由拉格朗日中值定理及(,)xfxy在有界闭域R上连续(从而一致连续),就有(,)(,)(,)xfxxyfxyfxyx§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性则x时，只要0,0,对(,)(,),xxfxxyfxy(0,1).其中数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社(,)ddxcfxyyx(,)(,)(,)ddxcfxxyfxyfxyyx().dc[,],xab这就证明了对一切有§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因此d()(,)d.ddxcxfxyyx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定理19.4（的可微性）()Fx[,]abc(x),d(x)为定义在上其值含于[p,q]内的可微函数,()()()(,)ddxcxFxfxyy在[,]ab上可微,()()()(,)d(,())()dxxcxFxfxyyfxdxdx(,())().(7)fxcxcx§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性[,][,]Rabpq(,),(,)xfxyfxy在设上连续,则函数且数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社证把F(x)看作复合函数:()(,,)(,)d,dcFxHxcdfxyy(),().ccxddx由复合函数求导法则及变动上限积分的性质,ddd()dddHHcHdFxxxcxdx()()(,)d(,())()dxxcxfxyyfxdxdx§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性有(,())().fxcxcx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社注由于可微性也是局部性质,定理19.3和定理19.4[,][,][,]xffabcdcd中条件与在上连续可改为在其中为任意区间.§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性上连续，数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社由定理19.1与定理19.2推得:定理19.5（）()x的可积性含参量正常积分的可积性(,)fxy若在矩形区域[,][,]Rabcd上连续,§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性[,]ab则与分别在和[,]cd上可积.()x()x()(,)ddcxfxyy()(,)dbayfxyx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性为书写简便起见,今后将上述两个积分写作d(,)dbdacxfxyyd(,)d.dbcayfxyx与前者表示(,)fxy先对y后对x求积分,求积顺序相反.它们统称为累次积分.后者则表示这就是说:在(,)fxy连续性假设下,同时存在两个求积顺序不同的积分:(,)ddbdacfxyyx(,)dd.dbcafxyxy与数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社定理19.6则d(,)dd(,)d.(8)bddbaccaxfxyyyfxyx§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性在(,)fxy连续性假设下,累次积分与求积顺序无关.(,)fxy若在矩形区域[,][,]Rabcd上连续,数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社1()d(,)d,udacuxfxyy2()d(,)d,ducauyfxyx证记1d()()d().duauIxxuu[,].uab其中2()(,)d.dcuHuyy2(),(,)(,)d,uauHuyfxyx令对于则有§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性12()(),IuIu分别求与的导数(,)Huy(,)(,)uHuyfuy因为与都在R上连续,数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社12()()().IuIukk为常数2d()(,)dddcIuHuyyu(,)d().dcfuyyIu由定理19.3,12()(),IuIu故得[,],uab因此对一切有12()(),[,].IuIuuab即得当时,12()()0,0,IaIak于是ua取就得到所要证明的(8)式.ub§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性=(,)dducHuyy数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例题122d().1aaxIaxa解记,1aa以及由于例1求1220dlim.1aaaxxa2211xa都是a和x的连续函数,0lim()(0)aIaII(a)在处连续,0a所以§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性由定理19.2已知120dπ.14xx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例2讨论函数21ln(1)()dxyIxyy的连续性.()Ix(12,).解易见的定义域为令ln(1)1(,),(,)(,)[1,2].2xyfxyxyy0011(,),,,,22xabaxb使得(,)fxy[,][1,2]ab在上连续,0x而在上连续.上连续.§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性()[,]Ixab在上连续,因此0x()Ix(12,)的任意性可得在由从数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社例3计算积分120ln(1)d.1xIxx解令120ln(1)()d,[0,1].1xIxx上满足定理19.3的条件,120()d.(1)(1)xIxxx(0)0,(1),III[0,1][0,1]R显然且函数在()I§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性于是数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社2(1)(1)xxx1112220001()ddd1111xIxxxxxx1112200011arctanln(1)ln(1)12xxx所以211ln2ln(1).142§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性因为221,111xxx数学分析第十九章含参量积分高等教育出版社1120011()ln2ln(1)d142I112001ln(1)ln2arctan(1)82Iln2ln2(1)88I因此ln2(1).4I§1含参量正常积分定义连续性可微性例题可积性10()d(1)(0)(1),IIII另一方面