第3讲-贝齐尔曲线

车身CAD吴娜山东交通学院汽车工程系2„CAGD发展；„几何造型技术；„参数曲线和曲面；„„BezierBezier曲线与曲面；曲线与曲面；„B样条曲线与曲面；„NURBS曲线与曲面；第3章车身曲线曲面的数学模型基础33.BezierBezier曲线与曲面曲线与曲面由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。43.Bezier3.Bezier曲线与曲面曲线与曲面„Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。例如，windows系统中画图板里面的曲线，即为标准的Bezier曲线。0P1P2P3P图3.1.8三次Bezier曲线0P1P2P3PBezier曲线的描述方法：„通过一组多边折线的各个顶点唯一定义出来的„在这组多边折线的顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上„且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切线方向„其余各顶点用来定义Bezier曲线的阶次和形状。„多边折线也称为控制多边形，它的顶点叫做控制点特点：„Bezier曲线的形状趋近于控制多边形的形状„改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状„几种典型的三次Bezier曲线如图7-7所示。多边形为凸，曲线也为凸首末边相交，出现尖点首末边位于中间边两边，一个拐点从上图中可以看出：在控制多边形的各顶点中，只有第一个和最后一个顶点在曲线上，其它的顶点则用以定义曲线的导数、阶次和形状。由于曲线的形状趋向于控制多边形的形状，所以改变多边形的顶点就会改变曲线的形状，这就使观察者对输入、输出关系有直观的感觉。3.Bezier3.Bezier曲线曲线------定义定义1．定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier曲线可定义为：]1,0[),()(,0∈=Σ=ttBPtPniini[])(),(),()(tztytxtP=注意：(,,)iiiiPxyz93.Bezier3.Bezier曲线曲线------定义定义其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：0°=1,0!=1),,1,0()1()!(!!)1()(,nittininttCtBiniiniinni⋅⋅⋅=−⋅−=−=−−„当n＝1时，Bezier曲线的控制多边形有二个控制点P0和P1„可以看出，一次Bezier曲线是一次多项式，一段直线。101,10Pt)(1)()(PttBPtpiii⋅+⋅−==∑=3.3.一次一次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有三个控制点P0、P1和P2，二次Bezier曲线是二次多项式。„可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。Pt)1(2Pt)(1)()(221022,20⋅+⋅−+⋅−==∑=PtttBPtpiii0012)01222102)(2()1(2)1()(PtPPtPPPPtPttPttP+−++−=+−+−=3.3.二次二次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。可以证明，三次Bezier曲线是自由曲线。PtPt)-(1t3)1(3Pt)(1)()(332212033,30⋅+⋅+⋅−+⋅−==∑=PtttBPtpiiiPtP)3tt3()363(1)P3t-3tt(33223123023++−++−+++−=Pttt3.3.三次三次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线133.3.三次三次BernsteinBernstein基函数及曲线基函数及曲线三次Bernstein基函数(1)f(t)t(1)B1,3B1,3B0,3B2,3B3,3当n=3时，B0,3(t)=(1-t)3，B1,3(t)=3t(1-t)2，B2,3(t)=3t2(1-t)，B3,3(t)=t3。142．Betnstein基函数的性质（1）非负性⎩⎨⎧−⋅⋅⋅=∈===;1,,2,1),1,0(01,00)(,nitttBni即0≤Bi,n(t)≤1，0≤t≤1，0≤i≤nB0,n(0)=1，Bi,n(0)=0，1≤i≤nBn,n(1)=1，Bi,n(0)=0，0≤i≤n-10Bi,n(t)1，0t1，0≤i≤n3.BezierBezier曲线曲线------Betnstein基函数153.BezierBezier曲线曲线------Betnstein基函数2．Betnstein基函数的性质（2）端点性质⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==otherwiseniBotherwiseiBnini0)(1)1(0)0(1)0(,,16（3）规范性由二项式定理可知：)1,0(1)(0,∈≡∑=ttBnini∑∑==−≡+−=−=ninininiinnittttCtB00,1])1[()1()(3.BezierBezier曲线曲线------Betnstein基函数17（4）对称性因为)()(,,tBtBninni−=)1()1()1()]1(1[)(,)(,tBttCttCtBniiniinininninnnin−=−=−⋅−−=−−−−−−3.BezierBezier曲线曲线------Betnstein基函数18(5）递推性。即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。因为，),...,1,0(),()()1()(1,11,,nittBtBttBninini=+−=−−−)()()1()1()1()1()1()()1()(1,11,)1()1(111)1(1111,ttBtBttttCttCtttCCttCtBniniiniininiininiinininiinni−−−−−−−−−−−−−−−−−+−=−+−−=−+=−=3.BezierBezier曲线曲线------Betnstein基函数193.BezierBezier曲线曲线------性质性质3．Bezier曲线的性质（1）端点性质a）曲线端点位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。203.Bezier3.Bezier曲线曲线------性质性质b)切矢量因为，所以当t=0时，，当t=1时，，这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。∑−=−−−−=101,1,1')]()([)(nininiitBtBPntP])1()()1([)(110'−−−−=−⋅⋅−−−⋅⋅⋅=∑iniiniinniittinttiCPtp)()0(01'PPnp−⋅=)()1(1'−−⋅=nnPPnp3.Bezier3.Bezier曲线曲线------性质性质（2）对称性由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。),,...,1,0(,*niPPini==−∑∑==−==nininiinniitBPtBPtC00,,*)()()(*∑∑==−−∈−=−=niniininininttBPtBP0,0,]1,0[),1()1(223.Bezier3.Bezier曲线曲线------性质性质（3）凸包性由于，且，这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味着Bezier曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，如图所示。∑=≡ninitB0,1)(),,1,0,10(1)(0,nittBniL=≤≤≤≤)(,tBni]1,0[∈t贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。贝齐尔曲线恒位于它的控制顶点的凸包内。图3.1.9Bezier曲线的凸包性凸包243.Bezier3.Bezier曲线曲线------性质性质（4）几何不变性这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。),,1,0(niPiL=253.Bezier3.Bezier曲线曲线------性质性质（5）变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。nPPPL10)3/1(30PP=0P1P2P3P10P11P12P20P21P263.Bezier3.Bezier曲线曲线------性质性质（6）交互能力改变曲线的形式，只需改变控制点Pi。（7）可分割性