圆锥曲线题型归纳(经典含答案)

1椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题(一)定义:1.命题甲:动点P到两点BA,的距离之和);,0(2常数aaPBPA命题乙:P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知1F、2F是两个定点，且421FF,若动点P满足421PFPF则动点P的轨迹是（D）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3.已知1F、2F是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的一个动点,如果延长PF1到Q,使得2PFPQ,那么动点Q的轨迹是(B)A.椭圆B.圆C.直线D.点4.椭圆192522yx上一点M到焦点1F的距离为2，N为1MF的中点，O是椭圆的中心，则ON的值是4。5.选做：F1是椭圆15922yx的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1），求||||1PFPA的最小值。解：26||2||2||||||221AFaPFaPAPFPA(二)标准方程求参数范围1.试讨论k的取值范围，使方程13522kykx表示圆，椭圆，双曲线。（略）2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“ynymxnm1022(C)A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.若方程1cossin22yx表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（A）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.方程231yx所表示的曲线是椭圆的右半部分.5.已知方程222kyx表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是k1(三)待定系数法求椭圆的标准方程1.根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；114416922xy（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；137148,113522222yxxy或（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21PP,求椭圆方程.213922yx2.简单几何性质1．求下列椭圆的标准方程（1）32,8ec；（2）过（3，0）点，离心率为36e。180144,1801442222yxxy或139,19272222yxxy或（3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。1129,11292222yxxy或（4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为12516,125162222yxxy或（5）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。11035,110352222yxxy或3．过椭圆)0(12222babyax的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若6021PFF，则椭圆的离心率为_____33________________（四）椭圆系————共焦点，相同离心率1．椭圆192522yx与)90(192522kkykx的关系为（A）A．相同的焦点B。有相同的准线C。有相等的长、短轴D。有相等的焦距2、求与椭圆14922yx有相同焦点，且经过点23，的椭圆标准方程。1101522yx（五）焦点三角形4a1.已知1F、2F为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点。若1222BFAF，则AB8。2.已知1F、2F为椭圆192522yx的两个焦点，过2F且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则1ABF的周长是20。33.已知CAB的顶点B、C在椭圆1322yx上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则CAB的周长为34。（六）焦点三角形的面积：1.已知点P是椭圆1422yx上的一点，1F、2F为焦点，021PFPF，求点P到x轴的距离。解：设),(yxP则1432222yxyx解得33||y，所以求点P到x轴的距离为33||y2.设M是椭圆1162522yx上的一点，1F、2F为焦点，621MFF，求21MFF的面积。解：||||2||||24||||24||||2|)||(|||||2||||||cos2121221221221212212221PFPFPFPFbPFPFcPFPFPFPFPFPFFFPFPF当621MFF，S=)32(166sin||||2121PFPF3.已知点P是椭圆192522yx上的一点，1F、2F为焦点，若212121PFPFPFPF，则21FPF的面积为33。4.已知AB为经过椭圆)0(12222babyax错误!未找到引用源。的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB错误!未找到引用源。的面积的最大值为cb。（七）焦点三角形错误!未找到引用源。1.设椭圆14922yx的两焦点分别为1F和2F，P为椭圆上一点，求21PFPF的最大值，并求此时P点的坐标。2.椭圆12922yx的焦点为1F、2F，点P在椭圆上，若41PF，则2PF2；21PFF120O。3.椭圆14922yx的焦点为1F、2F，P为其上一动点，当21PFF为钝角时，点P的横坐标的取值范围为)553,553(。（八）与椭圆相关的轨迹方程定义法：1.点M(x,y)满足10)3()3(2222yxyx，求点M的轨迹方程。（1162522xy）42.已知动圆P过定点)0,3(A，并且在定圆64)3(:22yxB的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.171622yx3.已知圆4)3(:221yxC,圆100)3(:222yxC，动圆P与1C外切，与2C内切，求动圆圆心P的轨迹方程.解：由题12102||||21rrPCPC所以点P的轨迹是：以1C，2C为焦点的距离之和为12的椭圆。6,3ac，方程为1273622yx4.已知)0,21(A，B是圆4)21(:22yxF（F为圆心）上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为13422yx5.已知A(0,-1),B(0,1),△ABC的周长为6，则错误!未找到引用源。的顶点C的轨迹方程是14322yx。直接法6.若ABC的两个顶点坐标分别是)6,0(B和)6,0(C，另两边AB、AC的斜率的乘积是94，顶点A的轨迹方程为1368122yx。相关点法7.已知圆922yx，从这个圆上任意一点P向x轴引垂线段'PP，垂足为'P，点M在'PP上，并且'2MPPM错误!未找到引用源。，求点M的轨迹。1922yx8.已知圆122yx，从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP’，则线段错误!未找到引用源。的中点M的轨迹方程是1422yx。二、直线和椭圆的位置关系(一)判断位置关系1．当m为何值时,直线mxyl:和椭圆14416922yx(1)相交；(2)相切；(3)相离。解：由14416922yxmxy消去y得014416322522mmxx，判别式：)25(5762m所以，当55m时直线与椭圆相交；当5m时直线与椭圆相切；当5mm或5时直线与椭圆相离。2．若直线2kxy与椭圆63222yx有两个公共点，则实数k的取值范围为。3636kk或5(二)弦长问题1.设椭圆)0(1:2222babyaxC的左右两个焦点分别为1F、2F，过右焦点2F且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为)1,2(M。（1）求椭圆的方程；12422yx（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线2BF交椭圆C于另一点N，求BNF1的面积。解：由（1）点B（0，2），)0,2(2F，直线BF2的方程为：2yx124222yxyx消去y得：02432xx，解得324xx或0所以点N的坐标为（324，32）所以38)232(222121211NFFBFFBNFSSS(三)点差法定理在椭圆12222byax（a＞b＞0）中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点),(00yxP是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN.1.已知一直线与椭圆369422yx相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为)1,1(，求直线AB的方程.解：设交点),(),(2211yxByxA，则有12122121yyxx，)2(3694)1(369422222121yxyx（2）-（1）得0))((9))((412121212yyyyxxxx即kxxyy94)()(1212，又直线AB过点（1，1）所以直线AB的方程为：)1(941xy2.直线l经过点A(1，2)，交椭圆2213616xy于两点P1、P2，（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹．解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，P2P1yxAO6则116361163622222121yxyx016))((36))((21212121yyyyxxxx…………*∵A(1，2)是线段P1P2的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∴016)(436)(22121yyxx，即922121xxyy。∴l的方程为2)1(92xy，即2x+9y-20=0．（2）设P1P2的中点M(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得yxxxyyk942121，又直线l经过点A(1，2)，∴21ykx，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，∴P1P2的中点的轨迹：221()(1)2151029xy。(四)定值、定点问题1、已知动直线(1)ykx与椭圆22:1553xyC相交于A、B两点,已知点7(,0)3M，求证：MAMB为定值.[证明：设交点),(),,(2211yxByxA由53)1(22yxxky消去y得0536)31(2222kxkxk则有222122213153,316kkxxkkxx),37(),,37(2211yxMByxMA94949))(37()1()37)(37(22122122121kxxkxxkyyxxMBMA所以MAMB为定值19.已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：0ykxmk与椭圆交于不同的两点MN、（MN、不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则722222,223,,cbabc解得2,3,ab∴椭圆C的标准方程为22143xy．………4分（Ⅱ）由方程组22143xyykxm消去y，得2223484120kxkmxm…………6分由题意△22284344120kmkm，整理得：22340km①…………7分设1122,,MxyNxy、，则122834kmxxk，212241234mxxk………8分由已知，AMAN，且椭圆的右顶点为A(2,0)，∴1212220xxyy…………10分即2212121240k