超构材料中的光学拓扑态

超构材料中的光学拓扑态1引言拓扑态是一种由于整体拓扑效应所导致的全新电子态。在传统的凝聚态理论中，物质的相态可以通过对称性及其破缺方式来进行分类。而拓扑态则不然，不同的拓扑态可以具有完全相同的对称性。因此需要引入新的序参量来描述，称为拓扑不变量或拓扑序，体现的是局部形变下的不变性。自旋霍尔效应和量子自旋霍尔效应中的边界态都属于拓扑态，而最为熟知的例子还是拓扑绝缘体，其典型特征是材料内部是绝缘体，而表面具有受拓扑保护的边界态。2008年Haldane等人提出此类具有拓扑性质的边界态本质上是一种单粒子行为，因此可以与麦克斯韦方程组描述的光子行为建立类比关系，从而实现边界态的光学模拟，或称为光学拓扑态。作者从理论上证明了在具有Dirac点能带结构的光子晶体中，引入磁光材料打破时间反演对称性，可以获得单向传输的光学边界态，其具有非零的拓扑不变量。该预测很快便得到微波实验的证实。不同的是，微波实验将六角晶格的光子晶体替换成了正方晶格，但同样可以通过磁光效应在能带的交会点附近打开带隙从而产生边界态。进一步的实验表明，该边界态在遇到散射体时会沿着边缘绕过散射体，而不会发生背向散射，证实了单向传输特性。此后，光学拓扑态迅速成为新的研究热点，不同光学结构中的拓扑态行为陆续得到发现与证实。例如，在二维耦合腔阵列中引入特殊设计的耦合相位，可以获得光子的等效磁场和等效自旋—轨道耦合相互作用，从而模拟量子霍尔效应中的边界态。上述这类边界态不具有时间反演对称性，因此同一个带隙中只允许一个方向传播的边界态出现。与之相对的，还有另一种类型的边界态，满足时间反演对称性，其典型代表是量子自旋霍尔效应的边界态(图1)和二维拓扑绝缘体的边界态。最直观的理解可以认为该类型的边界态是两支具有相反自旋的边界态，在边界处向相反的方向传播。2012年Khanikaev等人在理论上首次给出了拓扑绝缘体的光学类比。其设计思想是，用TE＋TM和TE－TM两种模式分别等效自旋相反的两种状态，通过在具有Dirac点的光子晶体中引入双各向异性的相互作用项，在Dirac点附近打开带隙，形成具有时间反演对称性的两支边界态。随后，此类比也在不同的光学体系中得以实现。此外，光学Floquet拓扑绝缘体也受到了研究者们的关注。图1(a)量子霍尔效应中的边界态；(b)量子霍尔边界态在能带中的体现，不具备时间反演对称性；(c)量子自旋霍尔效应中的边界态；(d)量子自旋霍尔效应边界态在能带中的体现，具备时间反演对称性总的来说，上述光学拓扑态的研究主要基于两种思路：一种是在光子晶体能带结构中的交汇点(以Dirac点为代表)引入特殊的相互作用，以拓扑的方式打开带隙；另一种是在耦合腔体系中模拟自旋—轨道耦合相互作用。这两种方式在物理图像上都非常清晰，然而其数学形式却较为复杂。那么，是否能够直接从麦克斯韦方程组出发建立参数一一对应的类比关系，并通过灵活的参数调整从而系统地模拟拓扑态行为？超构材料为此提供了一个便利的平台。超构材料(metamaterials，又称超材料、特异材料，有时也叫美特材料)是一种人工微结构，利用亚波长的电磁共振单元来实现任意调节材料有效介电系数ε和有效磁导率μ的目的。其中最典型的是左手材料(又称负折射率材料)，其ε和μ同时为负值，从而具有负折射率，n=-√(εμ)2一维Dirac体系的光学类比Dirac方程是描述自旋为1/2的粒子的相对论量子力学方程，它也预测了正电子的存在。近年来，研究表明Dirac方程对于理解拓扑绝缘体和拓扑超导体中的拓扑相具有重要意义。通过建立麦克斯韦方程组与Dirac方程的类比，即可在光学体系中系统研究拓扑态的性质。一维平面波的麦克斯韦方程组可表述为其中，ε0和μ0(εr和μr)分别为真空(相对)介电系数和磁导率。引入波函数描述：则(1)式和(2)式可以改写为其中m(x)=ω[εr(x)-μr(x)]/2c为有效质量，U(x)=ω[εr(x)+μr(x)-r(x)+μr(x)]/2c为等效势场，E=-ωr(x)+μr(x)/2c为等效本征能量，c是真空中光速，σx，y，z为泡利矩阵。可以看出，(3)式呈现出了标准的Dirac方程形式，而且其中的每一个参数都可以由εr和μr来调控。超构材料原则上可以实现任意εr和μr的组合方式，因此可以模拟一维Dirac方程描述的各种拓扑行为。2.1能带翻转一维Dirac方程描绘了两支能带：一支电子的能带和一支正电子的能带。正电子是电子的反粒子，具有负的质量和能量。两支能带间的带隙宽度为2mc2(其中m是电子的质量)。通常情况下，正能量的能带对应正质量。然而，一旦发生能带翻转，即正能量能带对应负质量的情况，则会产生拓扑相。普通相到拓扑相的变化无法通过连续变化得到，必定会经过一个带隙闭合的过程，即对应m=0的情形。利用超构材料可以很好地模拟相变过程，如图2(a)所示。这里考虑εr和μr由Drude模型描述的超构材料，其中ωpe和ωpm分别为电和磁的等离子体振荡频率，γe和γm分别对应电和磁的损耗。其能带表现为一支右手能带(上能带)与一支左手能带(下能带)。在图2(a)的情形(i)中，上能带的带边由μr=0的条件决定，下能带的带边由εr=0的条件决定，根据(3)式，其对应m0的相。通过调节εr和μr的参数，能带逐渐闭合，对应m=0，见情形(ii)；此后带隙再一次打开，见情形(iii)。从带边的条件可以看出，能带完成了翻转，此时对应m图2(a)超构材料能带翻转与参数对应关系；(b)能带翻转的物理图像；(c)微带线结构的仿真结果；(d)微带线结构的实验结果一组经过特定设计的左右手复合微带线结构从实验上很好地演示了能带翻转的过程。这组结构采用相同的集总元件，仅通过改变微带线的宽度来调节参数。实验样品与其对应的介电系数与磁导率随频率的变化关系如图3所示，通过(3)式中有效质量m的定义，可以清楚地看到m的正负值变化。图2(c)和(d)分别给出了实验样品仿真和实验的结果。值得注意的是，这里通过以下参数演算关系，将测量的群延时τg转换成了态密度(DOS)，其中D为微带线长度。可以看出，微带线宽度w从10mm向2mm变化过程中完成了能带翻转的过程，其中w=4.5mm时，带隙关闭，对应相变的临界点。图3(a)左右手复合微带线结构的实验样品；(b)—(d)为介电系数和磁导率随频率的变化，其中(b)w=10mm，对应m0；(c)w=4.5mm，对应m=0；(d)w=2mm，对应m根据Dirac方程的描述，m的正负值对应着不同的拓扑相。尽管在无限周期的结构中都只体现出带隙的特征，但是在有限周期的结构中则会体现不同的拓扑行为。这里以开放边界条件为例，对应于凝聚态体系中的真空边界，m→+∞。其仿真与实验结果见图4。对于m0的结构，其表现为一个普通的带隙，当位于带隙频率的入射波从一端入射时，呈现出反射特性，电场只聚集在入射端边界的趋肤深度范围内，见图4(a)—(c)；而对于m图4m0微带线结构的态密度谱(a)，三维电场分布的仿真结果(b)以及一维电压分布的实验测量结果(c)；m2.2畴壁现象(Domainwall)Jackiw—Rebbi解描绘了这样一个现象：在正质量和负质量的材料界面会形成束缚态，也被称为畴壁，是Dirac方程在零能量位置的解。后续研究表明这是一种一维拓扑态，且对界面两侧材料质量的无序分布不敏感。其典型例子是有机聚合物导体中的孤子(soliton)。然而，这一现象在实验上的观测并不容易。在超构材料体系中，研究者在超构材料概念初期就发现了在两种不同单负材料(ε和μ其中之一为负值)的界面处存在界面态，然而人们尚未意识到其内在的拓扑属性。文献首次揭示了单负材料的界面态满足Jackiw—Rebbi解，本质上是一种拓扑态，即畴壁。利用上一小节中的微带线结构设计，将能带翻转前后的两种结构(分别为w=8.5mm和w=2.5mm)组合在一起，即观测到了界面态，体现为带隙中的态密度峰(其对应频率为ω0=11.05GHz)，见图5(a)。进一步，空间位置的电压测量也显示了电场确实在界面处聚集，与仿真结果相一致，见图5(b)和(c)。通过提取参数，得到两种结构体现的参数分别为m1=-11.83，U1=0.26+0.80i，m2=-16.65，U2=-0.26+0.80i，其对应的本征能量E接近于零，证明了该界面态是Jackiw—Rebbi解对应的零能态。此外，相关实验研究也发现了该界面态确实对单负材料层的无序分布不敏感，说明其受到了拓扑保护。图5(a)界面态(畴壁)的态密度谱(其中(i)为计算结果，(ii)为实验结果)；(b)微带线结构空间场分布的仿真结果；(c)电场/电压随位置的分布2.3一维晶格的拓扑相在上述研究的基础上，可以进一步研究一维晶格的拓扑相。在凝聚态体系中，最简单的二能带模型是Su—Schrieffer—Heeger(SSH)模型——一种由AB格点组成的二聚物周期性晶格。当元胞内与元胞间的跃迁幅度(hoppingamplitude)不相等时，两支能带会被带隙分隔开。然而，该结构在一维周期链被断开时，会呈现非常有趣的现象：从元胞内切断的结构与从元胞间切断的结构在边界处的Berry相相差了π，于是导致了两者完全不同的拓扑性质——一种是拓扑平凡态，而另一种是拓扑非平凡态，或简称为拓扑态，其表现为在一维链的两端边界处出现了零能的束缚态，即一维边界态。然而，该现象在凝聚态体系中的实验观测并非易事。图6(a)一维AB格点周期链示意图；(b)一维周期链的态密度谱；(c)拿掉一个B组分断开的周期链的态密度谱；(d)拿掉一个A组分断开的周期链的态密度谱超构材料为此提供了一个非常方便的模拟平台。利用有效质量分别为mA0(w=7mm)和mBA||mB|，确保了其能带结构存在带隙，见图6(a)和(b)，对应于SSH模型的一维周期链。当拿掉一个B组分断开周期链时，其变为有限结构，仍采用测量群延时的方法将其转化为态密度谱，如图6(c)所示。可以看到，其仍然呈现出带隙的特征。然而，当拿掉一个A组分断开周期链时，其带隙内出现了一个态密度峰，如图6(d)所示。通过进一步的仿真计算与实验测量，实验样品如图7(a)所示，可以看到对应于态密度峰的频率，结构中的电场主要集中在结构的两端，体现出了边界态的特征，见图7(b)和(c)。这组对比实验很好地验证了SSH模型预测的拓扑态行为。图7(a)两种断开的周期链结构实验样品；(b)三维空间场分布仿真结果；(c)一维电压分布的实验测量结果3二维p波超导体系的光学类比拓扑超导体是另一类备受关注的拓扑材料，它除了具有边界态之外，还可以产生涡旋零能态(zero-energymodeatavortex)。理论表明，这种零能态的涡旋中心可以找到Majorana费米子，因此引起了广泛的关注。拓扑超导体最简单的模型为p波超导，其哈密顿量形式为其中p为动量，U′为化学势，对角元分别表示电子和空穴的哈密顿量，具有粒子—空穴对称性(particle-holesymmetry)，非对角元表示px+ipy形式的配对势。当U′0时，在不考虑配对势的情况下，电子和空穴的能带会发生交叠，如图8(b)所示；px+ipy配对势的引入会打开带隙，并呈现出拓扑相，如图8(c)所示。本文从麦克斯韦方程组出发，在理论上建立了超构材料与p波超导体系的直接类比。此类比有两个关键问题：一是如何实现等效的粒子—空穴对称性？二是如何模拟px+ipy配对势？3.1p波超导哈密顿量的光学类比对于第一个问题，本文提出利用TE波与TM的电磁对称性以及上个章节用到的手性翻转两项操作的叠加来类比超导体系中的粒子—空穴对称性，如图8(a)所示。下面以TE波为例，给出相应的二维麦克斯韦方程组形式其中εz和μ⊥分别满足(4)式和(5)式的Drude模型描述。通过与(3)式相似的操作，(8)式也可以改写成由有效质量和化学势的描述形式其中m与U和(3)式的描述相对应，Ez'=√ε0Ez，Hx，y'=√μ0Hx，y。这里将(9)式左边的矩阵定义为等效哈密顿量h(k)-U。其能带结构如图8(b