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9 微分方程浅说 9.1 微分方程初识 9.1.1 例子 例 已知曲线上各点的切线斜率等于该点横坐标的二倍, 且曲线过点()1,2, 求此曲线方程. 解 设所求曲线方程为()=yfx, (),Mxy为该曲线上任意一点, 依题意, 在点M有 =2dyxdx. (9.1) 两端对x积分便有 =+ò2yxdxC, 即 =+2yxC. (9.2) 其中C为任意常数. 由题设要求, 曲线经过点()1,2, 将其代入 (9.2), 求得=1C, 于是所求曲线方程为 =+21yx. 例 我们来研究这样的问题: 求法距不变的曲线. 假如用显式方程()=yyx表示这样的曲线, 那么问题012−1−2012−1−2−33就化为求这样的函数, 使得满足条件 ¢=yyp, 其中=p常量. 将它改写成 ()¢=22yp 的形状; 现在很明显的, 它的通解便是 =+22ypxC或=+2ypxC. (7) 因此, 整个抛物线族 (彼此可由平行于 轴的移动而得到) 都满足所给的要求. 因为是要找所有具上述性质的曲线, 故此处通解恰恰就给出了问题的答案. 如果在问题中附带指出, 曲线通过给定的点()00,xy, 则将这些 和 的值代入所得到的方程 (7) 中, 我们就可以确定出C的值: =-20002Cypx. 于 (7) 中命=0CC, 我们得出特解=+202ypxC, 就表示了具体的曲线. TOPNMxy 9.1.2 一般概念 定义 称含有自变量 , 函数 及其导数¢y, ¢¢y, …, ()ny的等式 ()()¢=,,,,0nFxyyy (9.8) 为n阶微分方程. 其中可不显含 , , 但必须显含 的导数. 在微分方程 (9.8) 中, 未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 满足微分方程的函数称为微分方程的解. 包含任意常数的解称为微分方程的通解, 确定了通解中的任意常数后得到的解称为它的特解. 为从通解中确定出特解而附加的条件称为初值条件. 求微分方程带有初值条件的问题称为初值问题, 或柯西问题. 9.1.3 微分方程及其解的几何解释 9.2 初等积分法 9.2.1 分离变量法 形如 ()()=dyhxgydx (9.11) 的方程称为变量 (可) 分离方程. ()()=dyhxdxgy ()()=+òòdyhxdxCgy, 便有隐式解 ()()=+GyHxC. (9.13) 若y可解出, 则得显式解 ()()-=+1yGHxC. (9.14) 为了求方程 (9.11) 满足初值条件()=00yxy的特解, 可将=0xx, =0yy代入 (9.13) 或 (9.14) 来确定C. 例 设给定方程 +=sin0dyxdxy. 积分之 +=òòsindyxdxCy 或 -+=cos2xyC, 由此 ()+=2cos4xCy. 这即是所提出的方程的通解. 如若给了初始条件, 比如说 当=0x时=1y, 立即得到=1C, 就引出了特解 ()+=21cos4xy. 例 求方程 ()()-+-=22110xydxyxdy 的通解. 解 用()()--2211xy除方程两端, 得 +=--22011xdxydyxy, 积分得 -+-=22ln1ln1lnxyC (C是不为零的任意常数), 即 ()()--=2211xyC. =1y也是方程的解, 于是通解为 ()()--=2211xyC (C是任意常数). 例 -=sincos022xxydxdy. 分离变量 =sin2cos2xdydxxy 并积分之 =-+ln2lncos2xyc. 取成指数, 由此即确定出了y, ==+221coscos2cceeyxx. 再设=2cCe, 得 =+1cosCyx (C是不为零的任意常数) =0y也是方程的解, 于是通解为 =+1cosCyx (C是任意常数) 例 解()++=+322101dyydxxyx. 解 ()()+++=223110xyxdyydx, 或 ()+=++2321011ydydxyxx. 于是部分分式分解得 +-=++232011xdxydxdyxyx, 积分得 ()()+++-=++òòò3232111103211dydxdxdyxyx, 或 ()++-+=3211ln1lnln132yxxc, ()++-+=322ln16ln3ln16yxxc, 由此 ()()+=+263321ln61xycx, ()()+==+26363211cxyeCx (C是不为零的任意常数) =-1y也是方程的解, 于是通解为 ()()+=+2633211xyCx (C是任意常数) 例 解+=+2211dyydxx. 解 分离变量: =++2211dydxyx. 积分得 =+arctanarctanarctanyxC, 于是 ()+=+=-tanarctanarctan1xCyxCCx 例 解=22cossindyydxx. 解 容易分离变量得 =22cossindydxyx. 因此 =22seccscydyxdx, 积分得 =-+tancotyxC. 例 解方程=2dyxydx, 并求满足初值条件=0x, =1y的特解. 解 当¹0y时, 分离变量, 得 =2dyxdxy, 两端积分, 得 =+21lnyxc, 1c为任意常数, 所以 ==221cxxyeece, 为不为0的任意常数. =0y也满足原方程, 故原方程的通解为 =2xyce, 为任意常数. 再求特解, 将初值条件=0x, =1y代入通解, 得=01ce, 解得=1c, 所以原方程的特解为 =2xye. 9.2.2 可化为变量分离方程的方程 9.2.3 一阶线性微分方程 未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程称为一阶线性微分方程. 它的一般形式是 ()()+=dypxyqxdx, (()()+=dypxydxqxdx) (9.22) 其中()px, ()qx都假定是连续函数. 若()º0qx, 则 (9.22) 称为齐次线性微分方程; 当()º0qx时, 方程(9.22) 称为非齐次线性微分方程. ()()()()()òòò+=pxdxpxdxpxdxedyepxydxeqxdx 亦即 ()()()()òò=pxdxpxdxdeyqxedx ()()()òò=+òpxdxpxdxeyqxedxC. ()()()-éùòò=+êúëûòpxdxpxdxyeqxedxC, (9.25) 其中C是一个任意常数. 例 求解下列微分方程 (i) ()¢+-+=2110xyxy 解 因为所给方程是一阶线性微分方程, 故将其变换为标准形, 使得 ¢-=-++22111xyyxx 由公式 (9.25), 得 -++éùæöòòêú÷ç=-+÷ç÷êúèø+êúëûò2211211xxdxdxxxyeedxcx ()()+-+éùêú=-+êú+ëûò2211ln1ln122211xxeedxcx ()()éùêú=+-+êúêú+ëûò122322111xdxcx 若设=tanxq (-22pqp), 则 ()+ò32211dxx ()===+òò2322seccossin1tanddqqqqqq =+21xx 因此, æö÷ç=+-+÷ç÷çèø+2211xyxcx =-++21xcx 由此得通解为 =-++21yxcx (ii) ()--=sincos0dvuuvudu 解 因为原方程是关于v, dvdu的一次式, 故为线性微分方程. 若将其化为标准形式, 则有 +=coscossinsindvuuvuduvu 由公式 (9.25), 得 -æöòò÷ç÷=+ç÷ç÷çèøòcoscossinsincossinuududuuuuveueducu -æö÷ç=+÷ç÷èøòlnsinlnsincossinuuueueducu ()=+ò1cossinuuducu ()=-+ò1sinsinsinuuuducu ()=++1sincossinuuucu 由此得通解为 --=sinsincosvuuuuc. (iii) ¢-=sincoscotyxyxx 解 原方程可化为如下标准形 ¢-=2coscossinsinxxyyxx 由公式 (9.25), 得 -æöòò÷ç÷=+ç÷ç÷çèøòcoscossinsin2cossinxxdxdxxxxyeedxcx -æö÷ç=+÷ç÷èøòlnsinlnsin2cossinxxxeedxcx æö÷ç=+÷ç÷èøò3cossinsinxxdxcx 因为 ==-òò332cossin1sinsin2sinxdxdxxxx 所以 æö÷ç=-+÷ç÷èø21sin2sinyxcx 即 =-+1cscsin2yxcx (iv) ()++-=10xdyxyydx 解 将原方程变形为 æö÷ç++=÷ç÷èø111dyydxxx 由公式 (9.25), 得 æöæö÷÷çç-++÷÷çç÷÷èøèøéùòòêú=+êúêúëûò11111dxdxxxyeedxcx ()()-++éù=+êúêúëûòlnln1xxxxeedxcx -éù=+êúëûò1xxeedxcx -éù=+ëûxxeecx 由此得 -éù=+ëû11xycex. 例 解方程¢-=22cosxyxyex. 解 ()=-2pxx, ()=2cosxqxex. ()=-=-òò22pxdxxdxx ()()()-éùòò=+êúëûòpxdxpxdxyeqxedxc -éù=+êúëûò222cosxxxexeedxc éù=+êúëûò2cosxexdxc ()=+2sinxexc 9.3 几个有趣的实例——若干应用模型 9.3.1 单种群模型与人口模型 英国学者马尔萨斯 (Malthus, 1766 – 1834) 认为人口的相对增长率为常数, 即单位时间内人口增量与人口总量成正比. 设 时刻人口数为 , 则有Malthus人口模型 这个初值问题的解为 1837年荷兰生物数学专家Verhulst考虑了单种群成员间的冲突乃至残害现象, 得出下述单种群数学模型 其中 , 为常数, 称作生命常数. 例 设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时 (=0t) 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的函数关系. 图 解 设降落伞下落速度为()vt. 降落伞在空中下落时, 同时受到重力P与阻力R的作用 (图). 重力大小为 , 方向与 一致; 阻力大小为 ( 为比例系Rkv=Pmg=数), 方向与 相反, 从而降落伞所受外力为 =-Fmgkv 根据牛顿第二运动定律 =Fma (其中a为加速度), 的函数()vt应满足的方程为 =-dvmmgkvdt. (9) 按题意, 初始条件为 ==00tv. 方程 (9) 是可分离变量的, 分离变量后得 =-dvdtmgkvm, 两端积分 =-òòdvdtmgkvm, 考虑到-0mgkv, 得 ()--=+11lntmgkvCkm, 即 ---=1ktkCmmgkve, 或 -=+ktmmgvCek (-=-1kCeCk) (10) 这就是方程 (9) 的通解. 将初始条件==00tv代入 (10) 式, 得 =-mgCk. 于是所求的特解为 -æö÷ç÷=-ç÷ç÷çèø1ktmmgvek. (11) 由 (11) 可以看出, 随着时间 的增大, 速度 逐渐接近于常数mgk, 且不会超过mgk, 也就是说, 跳伞后开始阶段是加速运动, 但以后逐渐接近于等速运动.