0勤径考研_第一章 函数极限与连续

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智轩考研数学红宝书2011---高等数学(第一章函数、极限与连续)序《智轩考研数学红宝书》吸取了目前市面上90余本优秀考研数学辅导资料的精华,已经得到了全国广大考研学子的高度认可,其使用效果尤其受到2010考生的青睐。这是一本含金量很高、适应国家命题数学123类和农学类数学及各校自主命题的数学甲乙AB的考研全面基础延展与综合强化提高的复习全书。作者系统全面总结与诠释了考研数学的三基理论(基本概念与定义,基本性质与定理,基本方法与结论),对第二基础进行了完整拓展,开辟了大量的原创秘技,采用了形象记忆法等先进教育心理学理念,先形后意、先型后法、循序渐进训练读者的数学解题思维定势和条件反射;同时,奉献了读者渴望的评注,蛰伏6年成书;2011版在2010版基础上,根据全国广大读者的建议和教育部考试大纲新的趋向,对相关内容作了大篇幅修改和完善。主要包含下列方面:1.根据使用2010版考生的建议和提出的不足,精心审阅笔误和改善各知识点的叙述方式。2.全书按照理论—题型题法—习题链编排。3.增删了2010版的例题40%,增加了新的技巧和方法,增加2011的新的变式和预测题型。4.增删了章节后的精华练习题,并给出了完整详细解析。5.对题例的解析过程更为严谨详细,知识理论叙述更为通俗易懂,使读者轻松备考。6.特别撰写了其他辅导书忽视的或不够完整的焦点概念及其例题解析。本书严格按照教育部硕士研究生入学考试大纲2010和历年真题及其数十名著名考研辅导专家的资料以及多年来的考生经验,经过深入细致反复研究和提炼,精心打造、别出心裁大量原创编纂而成,旨在帮助莘莘考研学子冲刺数学高分。全书共分三分册,第一分册为高等数学与微积分(共八大知识点),以同济六版为起点,并针对数学3经济类考生特别撰写了差分方程和边际与弹性在经济学中的应用。第二分册为线性代数(共六大知识点),以居余马主编的二版为起点。第三分册为概率论与数理统计(共八大知识点),以浙江大学盛骤主编的第四版为起点。所以,建议读者必须在认真复习完上述3套教材后,方可研读红宝书。从2003-2010年的试题来看,国家3类试题共用题目比例逐年提高,尤其是线性代数和概率论与数理统计近三年所考命题在各自的考试大纲范围内几乎完全相同,总体难度也基本趋于一致。经济类命题连续几年并无任何经济特色,也没有物理问题应用大题出现。而且同一题型,会在数学一、二、三试卷中按3-6年间隔重复出现。高数甲乙或AB的理科类自主命题试卷也竭力模仿国家3类数学的形式与特点命题。因此,本书提供的三基与拓展、例题与技巧、练习与模拟,都同时适应各类考生。由于本书含有六类数学的全部内容,所以,你必须首先根据你所考的数学类型按照2010年大纲在目录中圈定你需要的知识点,其余的内容不要管它。无暇不成玉,错误和不足之处难免,敬请读者和同行批评指正,作者将不遗余力继续更正完善。智轩2010年2月于湘江杨柳邦智轩考研数学红宝书2011---高等数学(第一章函数、极限与连续)第一篇高等数学第一章函数、极限与连续2010考试内容(本大纲为数学1,数学2-3需要根据大纲作部分增删)函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则:单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:0sin1lim1,lim(1)xxxxexx®®¥=+=函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质2010考试要求1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系。2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限。9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。一、函数的结构与类型1函数的结构与特征函数有二个要素,即定义域与对应法则。函数还有三个属性:自变量、因变量和对应法则符号。如()yyx=,其中x是自变量,方程左边的y是因变量,而方程右边的y是对应法则符号,不是变量,也常常写成()yfx=形式,以区别两个字母y的不同意义。对于一元复合函数如()()fxj,其中()xj称为复合自变量;对于多元复合函数如()()()fxyjy,,其中()xj和()yy分别称为第1位置变量和第2位置变量;对于以多元形式表示的一元复合函数如()()()fxxjy,,常常称为形式二元函数,以此类推。函数的结构和特征在求导中能得到具体的体现。1.1函数的全导●因变量y或()()fxj对自变量的求导,即()()()()()dfxdfxddxjjjj¢=×。●对应法则f对复合变量()xj的求导,即()()()()dfxfxdjjj¢=。可见,因变量对自变量的求导和对应法则对自变量的的求导是不同的,并且,因变量对自变量的求导需要智轩考研数学红宝书2011---高等数学(第一章函数、极限与连续)对应法则作为过渡桥梁。【例1】()1已知()xxf+=¢1ln,求()fx。()2已知()()ln1fxx¢=+,求()fx。〖解〗()1设lnxt=()()lnfxft¢¢Þ=()()()()()ln111tttxfxxfteftedttecfxexc¢¢=+Þ=+Þ=+=++Þ=++ò。()2设lntxtxe=Þ=()()()()()()()()lnlnln1lnlntdfxdfxdxdftdftfxedxdxdxxdtdt-¢Þ==×==,()()()()()()22211ln1122ttttttxxdftfxxeefteedteecfxeecdt-¢=+Þ=+Þ=+=++Þ=++ò。1.2函数的偏导在求偏导时,因变量和对应法则符号求偏导的意义是不同的,这个问题的系统论述留在多元微分学一章,这里只举个例子。【例2】已知()2,zfxx=,求zx¶¶和fx¶¶。〖解〗()2121,2;xzdzfzfxxfxfffxdxx¶¶¢¢¢¢=Þ==+==¶¶。2函数的类型2.1有界函数●当00xxd-或xX的一切x都要满足()fxM,称()fx为有界函数或称为有界(变)量。如1sinyx=,对于任何x,都有1sin1x£,故1sinyx=是有界函数。●当00xxd-或xX的一切x都要满足()fxM,称()fx为无穷大量。如()10yxx=¹,当10xx®Þ®¥,故()10yxx=¹为无穷大量。●当00xxd-或xX时,只要有一个x满足()fxM,称()fx为无界函数或无界(变)量。如()011limsinxfxxx®=。●下例说明无穷大量和无界量的区别和联系。()()01limxfxfxx®=Þ=¥,即()fx为无穷大量。而()11sinfxxx=()1100limlimsin0;xxnnfxnnpppp=®=®Þ==()()1/01/01/0222limlimsinlim1222nxnxnxnfxnnnppppppppppppæöæöæö=+®=+®=+®ç÷ç÷ç÷èøèøèøæöæöæö=++=-+=¥ç÷ç÷ç÷èøèøèø,即()fx为无界量。相同之处:都存在极限趋于无穷大;不同之处:无穷大量在取极限过程中没有0值,无界量存在0值。无穷大量必是无界量,无界量未必是无穷大量。注意()fx为无穷小量的定义是()0lim0xxfx®=,由于()0fx=智轩考研数学红宝书2011---高等数学(第一章函数、极限与连续)也是无穷小量,故只有当()0fx¹时,无穷小量的倒数才是无穷大量。2.2单调函数12xx12()()fxfxÞ或,单调函数一般指严格单调函数,存在等号时称单调不增或单调不减函数。2.3周期函数满足:()()fxTfx+=,T一般指不等于零的最小正周期。●狄利克雷函数()1,0,xfxxì=íî为有理数为无理数,则任何有理数都是其周期,没有最小的正周期。●周期函数()faxb+的周期为Ta;()fx¢的周期等于()fx的周期。●如果()()faxbgcxd+±+的周期存在,则为二者最小公倍数,如()2tan3tan23xxfx=-的周期为6p。但是任意两个周期函数之和未必就是周期函数,比如()sin2sinfxxxp=+,由于sin2x的周期为p,sinxp的周期为2,而公倍数不能是无理数,故()fx不是周期函数。2.4复合函数指具有中间变量(又称位置变量)的函数。复合函数分两类:显式复合函数如()()yfxj=和隐式复合函数如()(),,0Fxxyj=。2.5反函数,xy存在一一映射的情况下,二者互为反函数。反函数有两种表达方式:●不改变记号若()xgy=为()yfx=的反函数,在某些场合,常把()yfx=的反函数记为()1xfy-=或()xgy=,没有改变记号的互为反函数()yfx=和()1xfy-=的曲线重合,且原定义域和值域互换。●改变记号若()xgy=为()yfx=的反函数,在某些场合,常把()yfx=的反函数记为()1yfx-=或()ygx=,此时已重新把x视为自变量。一般在纯粹需要求反函数时,需要改变记号。改变记号后,互为反函数的两个函数()yfx=和()()1ygxfx-==的曲线关于直线yx=对称,且原定义域和值域互换。在反函数记号的使用中,一定要分清是否改变了变量记号。●对偶性()yfx=与反函数()ygx=的定义域与值域具有对偶性,即()yfx=的定义域必为()gx的值域,而()yfx=的值域必为()gx的定义域,并且()()()()()()()()11gfxfgxffxffxx--====。【例3】设()sin,()arcsinfxxgxx==,求()(()),()fgxgfx。〖解〗()sinfxx=的定义域为(),xÎ-¥+¥或取,22xkkppppéùÎ-++êúëû,值域为[]()1,1fxÎ-。智轩考研数学红宝书2011---高等数学(第一章函数、极限与连续).()arcsingxx=的定义域为[]1,1xÎ-+,值域为(),22fxppéùÎ-êúëû由于反函数的一一对应性,故()(())sinarcsinfgxxx==2.()()()arcsinsingfxx=,此处的x定义域不受反函数的限制,可取,,2222xkkxkpppppppéùéùÎ-++Û-Î-êúêúëûëû,令xktxtkpp-=Þ=+上述变量t具有反函数一一对应性质,即()arcsinsintt=。()()()()()()()()()arcsinsinarcsinsinarcsin1sin1arcsinsin1kkkgfxxktttxkppÞ==+éùëûéù=-=-=--ëû【例4】设函数()fx和()gx互为反函数,求()132yfgxæö=ç÷èø的反函数。〖解〗()()()()()()()()()()11133222233ggygxfgxfgyxfgyyfgx¾¾¾¾¾¾®=Þ=Þ=Þ=两边同时用作用。【例5】设()fx有反函数()gx,0a,且()()(),0,2fabfacfa¢¢¢==¹=,求()gb¢¢。〖解法一〗()1记()y

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