2014年高考第二章导数及其应用1.2.3

2．3导数的应用(二)考纲点击1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)2.会利用导数解决某些简单的实际问题．说基础课前预习读教材考点梳理一、函数的最值与导数1．函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条①______不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的②______.(2)将函数y＝f(x)的各极值与③______的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值端点处二、利用导数研究生活中的优化问题1．生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：考点自测1.下列命题中真命题是()A．函数的最大值一定是函数的极大值B．函数的极大值可能会小于这个函数的极小值C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间上的最小值D．函数在开区间内不存在最大值和最小值解析：极值是局部问题，而最值是整体问题．答案：B2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，选C.答案：C3．函数f(x)＝x＋2cosx在0，π2上的最大值点为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：f′(x)＝1－2sinx，f′(x)＝0在0，π2上仅有一解π6，又f(0)＝2，fπ6＝π6＋3，fπ2＝π2，比较可知fπ6为最大值．答案：B4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________.解析：f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2.∴f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，则M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.答案：325．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是__________．解析：设矩形的一边边长为x，则另一边边长为Sx，其周长为l＝2x＋2Sx，x＞0，l′＝2－2Sx2，令l′＝0，解得x＝S，易知，当x＝S时，其周长最小．答案：S说考点拓展延伸串知识疑点清源1.函数的最大值与最小值的理解最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意以下几点：(1)最值与极值的区别极值是指某一点附近函数值的比较．因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．(2)最值与极值的求法的区别在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导的函数f(x)，它的极值可以通过检查导数f′(x)在每一个零点两侧的符号来求得．而f(x)在[a，b]上的最大(小)值，则可以通过将各极值与端点的函数值加以比较来求得，其中最大(小)的一个即为最大(小)值．(3)当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得．2．生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.题型探究题型一求已知函数的最值例1求函数f(x)＝ln(1＋x)－14x2在[0,2]上的最大值和最小值．解析：f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化简为x2＋x－2＝0.解得x1＝－2(舍去)，x2＝1.当0≤x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当1＜x≤2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；所以f(1)＝ln2－14为函数的极大值．又因为f(0)＝0，f(2)＝ln3－1＞0，f(1)＞f(2)．所以f(0)＝0为函数f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln2－14为函数f(x)在[0,2]上的最大值．点评：①求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．②当连续的函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．变式探究1已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.(1)由题意，得f′23＝3×232＋2a×23＋b＝0，f′1＝3×12＋2a×1＋b＝3.解得a＝2，b＝－4.所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表：x－4(－4，－2)－2－2，232323，11f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗函数值－111395274∴f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.题型二不等式恒成立问题例2设函数f(x)＝12x2＋ex－xex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，因为f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，由f′(x)＝x(1－ex)＞0得x＜0，f′(x)＜0得x＞0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在[0,2]上单调递减，在[－2,0)上单调递增，又f(－2)＝2＋3e2，f(2)＝2－e2，且2＋3e2＞2－e2，所以x∈[－2,2]时，[f(x)]min＝2－e2，故m＜2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立．点评：若m＜f(x)恒成立，则m＜[f(x)]min；若m＞f(x)恒成立，则m＞[f(x)]max，因此不等式恒成立问题可转化为函数的最值来解决．变式探究2设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)递增极大值1－m递减∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)＜－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)＜0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m＜0，∴m的取值范围为m＞1.题型三生活中的优化问题例3某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解析：(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－43r＝4320r2－r.由于l≥2r，因此0＜r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×4320r2－r×3＋4πr2c.因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0＜r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8πc－2r2r3－20c－2，0＜r≤2.由于c＞3，所以c－2＞0，当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m＞0，所以y′＝8πc－2r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0＜m＜2，即c＞92时，当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2)时，y′＞0.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤92时，当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c＞92时，建造费用最小时r＝320c－2.点评：在求实际问题中的最值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数求函数最值的方法求解．但要注意结果应与实际情况相符．变式探究3请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝2x，h＝60－2x2，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.归纳总结•方法与技巧1．函数的最值函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．极值可能成为最值．最值只要不在端点取得必定是极值．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答．•失误与防范1．极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．2．利用导数求解实际问题中函数的最值时，千万不