2014年高考第二轮复习资料-专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲

专题二三角函数、解三角形、平面向量陕西省永寿中学李海刚第1讲三角函数的图象与性质【高考真题感悟】(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.考题分析本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化简求解三角函数的解析式，并求三角函数在给定区间上的值域．考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力．易错提醒(1)对三角恒等变换公式掌握不牢，化简方向不明确．(2)求f(x)在给定区间上的值域，易忽视对函数单调性的讨论．主干知识梳理1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．诱导公式公式一sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(kπ＋α)＝tanα(k∈Z)公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式五sin(π2－α)＝cosα，cos(π2－α)＝sinα公式六sin(π2＋α)＝cosα，cos(π2＋α)＝－sinα3.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．4．正弦、余弦、正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期2π2ππ单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增最值当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1无最值对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)5．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换y＝sinx——————————→向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)——————————————→纵坐标变为原来的A(A0)倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．横坐标变为原来的(ω0)倍纵坐标不变1热点分类突破题型一三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例1已知点P(－3,4)是角α终边上的一点．求：sinα＋3π2·sin3π2－α·tan2(2π－α)tan(π－α)cosπ2－α·cosπ2＋α的值．解∵P(－3,4)是角α终边上的一点，∴tanα＝－43.∴原式＝(－cosα)·(－cosα)·tan2α(－tanα)sinα·(－sinα)＝tanα＝－43.探究提高在应用诱导公式时，需要先将角变形，有一定技巧，如化32π＋α为π＋(π2＋α)或2π－π2－α.变式训练1已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．解析tanθ＝cos34πsin34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin3π40，cos3π40，∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.7π4题型二三角函数图象变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图象(如图所示)，求其解析式．思维启迪先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将(0，2)代入求A的值．解设函数的周期为T，则34T＝7π8－π8＝34π，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2.又∵2×π8＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)，又∵|φ|π2，∴φ＝π4.∴函数解析式为y＝Asin(2x＋π4)．又图象过点(0，2)，∴Asinπ4＝2，∴22A＝2，∴A＝2.∴所求函数的解析式为y＝2sin(2x＋π4)．探究提高(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期．变式训练2(1)(2010·天津改编)右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－π6，5π6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的________倍，纵坐标不变．解析由图象可知A＝1，T＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点(π3，0)，∴sin(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，∴φ＝π3＋2kπ，k∈Z.∴y＝sin(2x＋π3＋2kπ)＝sin(2x＋π3)．故将函数y＝sinx先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得原函数的图象．答案π312(2)(2011·江苏)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．解析由题图知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，ω＝2ππ＝2.∴2×π3＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋π3.令k＝0，得φ＝π3.∴函数解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，∴f(0)＝2sinπ3＝62.62题型三三角函数图象与性质的综合应用例3已知函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx－32，且f(0)＝32，fπ4＝12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称？解(1)由f(0)＝32，得2a－32＝32，故a＝32.由fπ4＝12，得32＋b2－32＝12，所以b＝1.可得f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32＝32cos2x＋12sin2x＝sin2x＋π3.所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间是π12＋kπ，7π12＋kπ(k∈Z)．(3)因为f(x)＝sin2x＋π6，所以由奇函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位即得到y＝f(x)的图象，故函数f(x)的图象向右平移π6＋k2π(k∈Z)个单位或向左平移π3＋k2π(k∈Z)个单位后，对应的函数即成为奇函数，图象关于原点对称．探究提高(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．(2)对于形如y＝asinωx＋bcosωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)(cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2)的形式来求．变式训练3已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0φπ，ω0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．解(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝232sin(ωx＋φ)－12cos(ωx＋φ)＝2sinωx＋φ－π6.因为f(x)为偶函数，所以对x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin－ωx＋φ－π6＝sinωx＋φ－π6，即－sinωxcosφ－π6＋cosωxsinφ－π6＝sinωxcosφ－π6＋cosωxsinφ－π6，整理得sinωxcosφ－π6＝0.因为ω0，且x∈R，所以cosφ－π6＝0.又因为0φπ，故φ－π6＝π2.所以f(x)＝2sinωx＋π2＝2cosωx.由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到y＝fx－π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝fx4－π6的图象．所以g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＝2cosx2－π3.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为4kπ＋2π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．规律方法总结1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)的图象求解析式(1)A＝ymax－ymin2，B＝ymax＋ymin2.(2)由函数的周期T求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．名师押题我来做1．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x有下列命题：①y＝f(x)的周期为π；②x＝π4是y＝f(x)的一条对称轴；③π8，0是y＝f(x)的一个对称中心；④将y＝f(x)的图象向左平移π4个单位，可得到y＝2sin2x的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．押题依据本小题以多项选择的形式考查了三角函数的性质、三角函数式的化简．重点突出，形式新颖，难度适中，是高考的热点，故押此题．押题级别★★★★★解析由f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin2x－π4，得T＝2π2＝π，故①对；fπ4＝2sinπ4≠±2，故②错；f