2015-2016学年高中数学 1.3.1二项式定理与二项展开式课件 新人教A版选修2-3

1．3二项式定理1.3.1二项式定理与二项展开式题型1二项式定理的正用、逆用学习目标预习导学典例精析栏目链接例1(1)用二项式定理展开1＋1x4＝________；(2)设n为自然数，化简C0n·2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．解析：(1)法一1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.法二1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4(x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1)＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.(2)原式＝C0n·2n·10－C1n2n－1·11＋…＋(－1)k·Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.答案：(1)1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4(2)1规律方法：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练1．化简：(1)1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn；(2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解析：(1)原式＝1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n.(2)原式＝(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.题型2求二项式展开式中的特定项学习目标预习导学典例精析栏目链接例2(1)(2014·高考湖南卷)12x－2y5的展开式中x2y3的系数是()A．－20B．－5C．5D．20(2)二项式x2＋12x10的展开式中的常数项________．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)由二项式定理得第n＋1项的展开式为Cn5·12xn·(－2y)5－n，则n＝2时，Cn5·12xn·(－2y)5－n＝10·12x2·(－2y)3＝－20x2y3，所以x2y3的系数为－20.故选A.(2)设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝Cr10(x2)10－r·12xr＝Cr10x20－52r·12r(r＝0，1…，10)．令20－52r＝0，得r＝8，∴T9＝C810·128＝45256.∴第9项为常数项，其值为45256.答案：(1)A(2)45256规律方法：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练2．(2013·揭阳一模)若二项式x＋12xn的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的系数为________(用数字作答)．解析：由题意可得，C3n＝C6n，解得n＝9.因为x＋12x9的展开式的通项为Tr＋1＝12rCr9x9－rx－r2＝12rCr9x9－3r2，令9－3r2＝6，解得r＝2.此时的系数为122C29＝9.答案：9题型3展开式通项的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例3若x＋124xn的展开式中前三项系数成等差数列．求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中所有x的有理项．分析：首先由“前三项系数成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关．解析：通项为Tr＋1＝Crn·(x)n－r·124xr.由已知条件知：C0n＋C2n·122＝2C1n·12，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·124xr＝Cr8·2－r·x4－34r.令4－34r＝1，解得r＝4.学习目标预习导学典例精析栏目链接则含x的一次幂的项为T4＋1＝C48·2－4·x＝358x.(2)令4－34r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0，4，8时，对应的项才为有理项，有理项分别为：T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.规律方法：利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特性的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某字母的r次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定Tk＋1中k的值或取值范围，以满足题设的条件．学习目标预习导学典例精析栏目链接►变式训练3．(2014·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(C)A．45B．60C．120D．210解析：(1)依题意可得f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C36＋C26C14＋C16C24＋C34＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.