2015-2016学年高中数学 3.3.3函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1

3．3.3函数的最大（小）值与导数题型一求函数的最值例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈－3，12.解析：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝－3x2＋3＝0，得x＝±1.∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(－3)＝0，f(3)＝0，∴f(x)的最大值是2，最小值是－2.(2)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，0，1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：∴当x＝－3时，f(x)的最小值是－60；当x＝－1时，f(x)的最大值是4.点评：1.要准确理解函数最值的求法，掌握求解函数最值的一般步骤，学会用表格直观显示解题过程，特别要注意极值点不在定义域内的情形．2．求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．变式训练1．已知函数f(x)＝13x3－4x＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3，4]上的最值．解析：(1)f′(x)＝x2－4，令x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，极大值为283，当x＝2时，函数有极小值，极小值为－43.(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283.∴与极值点的函数值比较，的函数在区间[－3，4]上的最大值为283，最小值为－43.题型二由函数最值确定参数例2设23＜a＜1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b，x∈[－1，1]的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b的值．解析：令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需要比较f(0)与f(1)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1＞0，所以f(x)的最大值是f(0)＝b，则b＝1；又f(－1)－f(a)＝－1－32a＋b－－a32＋b＝12(a＋1)2(a－2)＜0，所以f(x)的最小值是f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，则－32a＝－62，所以a＝63.点评：该题属于逆向探究题型，其基本的解决方法是待定系数法，通常根据求最值的方法先求最值，再由已知条件得到方程组后求解方程组得答案．变式迁移2．若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值是－29，求a，b的值．解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4，∵x∈[－1，2]，∴x＝0.由题意知a≠0，(1)若a＞0，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3.又f(－1)f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29.∴a＝2.(2)若a＜0，则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29.又f(－1)＜f(2)，∴当x＝2时，f(x)取最大值，值即－16a－29＝3.∴a＝－2.综上a＝2，b＝3，或a＝－2，b＝－29.题型三与最值有关的恒成立问题例3设函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[－1，2]时，f(x)＜m恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)求导，得f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝3x2－x－2＝0，解得，x＝1或x＝－23.易知，当x∈－∞，－23时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x∈－23，1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．所以，f(x)的增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，减区间为－23，1.(2)当x∈[－1，2]时，f(x)＜m恒成立，等价于f(x)在x∈[－1，2]时的最大值小于m.由(1)可知，f(x)极大值＝f－23＝5＋2227，f(x)极小值＝f(1)＝72；又f(－1)＝112，f(2)＝7，则f(x)在x∈[－1，2]时的最大值为f(2)＝7.所以，m＞7，即实数m的取值范围为(7，＋∞)．点评：1.本例体现了函数最值的广泛应用，尤其是含参数不等式恒成立问题，通常通过分离参数后构造函数，把问题转化为求函数的最值，其中的一个重要的等价转化过程是：m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max，m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.2．恒成立问题是高考经常考查的内容之一．对于与二次型函数有关的恒成立问题，常借助二次函数的图象加以判断；对于与高次型函数有关的恒成立问题，常转化为函数的最值加以解决．变式迁移3．设函数f(x)＝ax3－3x＋1，x∈R，若对任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．解析：当x＝0时，不论a取何值，f(x)≥0，显然成立，当0＜x≤1时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0，可化为a≥3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝3（1－2x）x4.所以g(x)在区间0，12上单调递增，在12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4.当－1≤x＜0时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤3x2－1x3，设g(x)＝3x2－1x3，g′(x)＝3（1－2x）x4＞0，∴g(x)在区间[－1，0)上单调递增．∴g(x)max＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.