适合用洛必达法则的七种极限

259探索研究Explorationandresearch质量管理【文章摘要】洛必达法则是求极限的一种非常好的方法，那么洛必达法则都能求哪些类型的极限呢？洛必达法则是否不管什么类型的极限都适合呢？这正是本文要讨论的问题。【关键词】00型，∞∞型，∞−∞型，∞⋅0型，00型，0∞型，∞1型100型设ax→时，(),0,0)(→→xgxf则极限)()(limxgxfax→就称为00型。设∞→x时，(),0,0)(→→xgxf则极限)()(limxgxfx∞→也是00型。例1求极限xxxxsin1sinlim20→。解：xxxxsin1sinlim20→虽然是00型，但由于xxxxxxxxxcos1cos1sin2limsin1sinlim020−=′′→→）（，而xxxxxcos1cos1sin2lim0−→不存在→→不存在而存在这是由于xxxxx1coslim,1sin2lim00。所以不符合洛必达法则的条件，即不能用洛必达法则。实际上，0011sinlimsinlimsin1sinlim0020=×=⋅=→→→xxxxxxxxxx。这个例题说明，有的极限虽然是00型，但不一定能用洛必达法则。2∞∞型设ax→时，(),,)(∞→∞→xgxf则极限)()(limxgxfax→就称为∞∞型。设∞→x时，(),,)(∞→∞→xgxf则极限)()(limxgxfx∞→也是∞∞型。例1求极限。解：虽然是∞∞型，但由于适合用洛必达法则的七种极限任其昇沈阳工学院基础教育学院113122=显然，算来算去又算回去了。所以不能用洛必达法则。实际上，。这个例题说明，有的极限虽然是∞∞型，但不一定能用洛必达法则。3∞−∞型设ax→时，(),,)(∞→∞→xgxf则极限()()[]xgxfax−→lim就称为∞−∞型。设∞→x时，(),,)(∞→∞→xgxf则极限()()[]xgxfx−∞→lim就也称为∞−∞型。例1求极限。解：由于，所以所以注：00000-00101=×=−=∞−∞，即∞−∞型可化为∞∞型。4∞⋅0型设ax→时，(),,0)(∞→→xgxf则极限()()[]xgxfax⋅→lim就称为∞⋅0型。设∞→x时，(),,0)(∞→→xgxf则极限()()[]xgxfx⋅∞→lim就也称为∞⋅0型。例1求极限。解：若将化为∞∞型，即就算不出来极限。注：1.000100100=×=⋅=∞⋅，即∞⋅0型可化为00型。2.∞∞=∞⋅∞=∞⋅10，即∞⋅0型又可化为∞∞型。3.在计算∞⋅0型极限时，是化成00型，还是化成∞∞型，要具体分析才行，可以先试算一次。500型设ax→时，(),0,0)(→→xgxf则极限[]()xgaxxf)(lim→就称为00型。设∞→x时，(),0,0)(→→xgxf则极限[]()xgxxf)(lim∞→也是00型。例1求极限xxxsin0lim+→。解：注：，即00型既可化为00型又可化为∞∞型。60∞型设ax→时，(),0,)(→∞→xgxf则极限[]()xgaxxf)(lim→就称为0∞型。设∞→x时，(),0,)(→∞→xgxf则极限[]()xgxxf)(lim∞→也是0∞型。例1求极限()xxxcos2tanlim−→π。解：注：，即00型既可化为00型又可化为∞∞型。7∞1型设ax→时，(),,1)(∞→→xgxf则极限[]()xgaxxf)(lim→就称为∞1型。设∞→x时，(),,1)(∞→→xgxf则极限[]()xgxxf)(lim∞→也是∞1型。例1求极限()210coslimxxx→。解：注：，即00型既可化为00型又可化为∞∞型。【参考文献】[1]《高等数学》同济大学数学系编2007年4月第六版。[2]《高等数学》刘俊山编2000年3月第2版[3]《考研数学》（一）毛纲源编著2012年7月第一版