7、 幂 函 数2

返回返回问题1：函数y＝2x，y＝x3是指数函数吗？提示：y＝2x是指数函数，而y＝x3不是指数函数．问题2：函数y＝x3中自变量有什么特点？提示：自变量在底数的位置．问题3：再举出几个这样的函数．提示：y＝x2，y＝x，y＝x－1.返回形如的函数称为幂函数，其中为常数.y＝xα(α∈R)α返回返回在同一坐标系下，作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象，如图所示：12返回问题1：在第一象限，图象有何特点？提示：都过点(1，1)，只有y＝x－1随x增大而减小，但不与x轴相交，其他的都随x增大而增大．问题2：这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？提示：y＝x，y＝x3，y＝x－1是奇函数；y＝x2是偶函数；y＝12x是非奇非偶函数．返回函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域值域奇偶性RRR{x|x≥0}{x|x≠0}R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇非奇非偶奇偶奇返回函数性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1单调性x∈[0，＋∞)时，x∈(0，＋∞)时，x∈(－∞，0]时，x∈(－∞，0)时，公共点(1，1)增增减增增减减返回(1)幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数；而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．(2)幂函数的指数的变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小．返回返回返回[例1]函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．[思路点拨]首先根据幂函数的定义确定幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．[精解详析]根据幂函数定义得m2－m－1＝1,解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3，在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3.返回[一点通]幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，系数为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．返回1．有下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝23x.其中，是幂函数的有________(只填序号)．返回解析：①中，函数y＝x3是幂函数；②中，y＝x2＋1不是xα的形式，故不是幂函数；③中，y＝－1x＝－(x－1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y＝23x是幂函数．答案：①④返回2．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1.m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？解：(1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0，∴m＝1.返回(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0，∴m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.返回返回[例2]已知幂函数y＝xα在第一象限内的图象如图所示，若α取±2，±12四个值，则相应的曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2，2，12D．2，12，－2，－12返回[精解详析]抓住幂函数图象的特征，在第一象限内若，α0，当0α1时图象平缓上升，当α1时图象陡峭上升；α0时，图象下降．在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题目中所给图知，C1的指数α1，0C2的指数α1，因而只有B与D可选.取x＝2，由2122－2知B正确．[思路点拨]利用幂函数的图象与指数的变化规律解决．[答案]B返回[一点通]解决幂函数的图象问题，需把握两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．返回3．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：幂函数的形式决定了：当x0时，y不可能为负.∴图象不可能经过第四象限．答案：A返回4．点(2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上.问当x为何值时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)．解：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.返回分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)g(x).返回返回[例3](12分)已知幂函数y＝xp－3(p∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(2a＋1)3p(3－a)3p的a的取值范围．[思路点拨]由单调性可知p－30.由图象关于y轴对称可知p－3为偶数，又p∈N＋，故可确定p的值，再利用单调性解关于a的不等式，求a的范围．返回[精解详析]∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，∴p－30，即p3.(2分)又∵p∈N＋，∴p＝1或2.(3分)∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴p＝1，即y＝x－2(6分)返回∴(2a＋1)13(3－a)13.∵函数y＝x13在(－∞，＋∞)上是增函数，(9分)∴2a＋13－a，即a23.∴所求a的取值范围是(－∞，23)．(12分)返回[一点通]由f(x1)f(x2)得x1与x2的大小关系时，如果f(x)的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论.这时要借助函数y＝f(x)的图象，直观地进行分析，得出结果．返回5．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是()A．y＝x3B．y＝x13C．y＝x2D．y＝x－2解析：先判断在(0，＋∞)上的单调性，再利用奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数单调性相反判断在(－∞，0)上的单调性．答案：C返回6．设a＝(35)25，b＝(25)35，c＝(25)25，则a，b，c的大小关系是()A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：∵y＝x25(x0)为增函数，∴ac.∵y＝25x(x∈R)为减函数，∴cb.∴acb.答案：A返回7．比较下列各组数的大小:(1)3－52与3.1－52；(2)－8－78与－(19)78.解：(1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又33.1，所以3－523.1－52.返回(2)－8－78＝－(18)78，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又1819，故(18)78(19)78，从而－8－78－(19)78.返回简单幂函数的性质：(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．返回