25.4(2)解直角三角形的应用

特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.填空在Rt∆ABC中,∠C=90°.cABCabc2=a2+b2∠A+∠B=90°(1)三边的关系是(2)锐角的关系是∠A的对边∠A的邻边斜边∠A的对边斜边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边(3)边角的关系是cotA=cosA=sinA=tanA=BBBBBBBBBB(其中A可以换成B)定义:在Rt∆中,除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角),由Rt∆中除直角外的已知元素,求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续向东航行.想一想P21要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.请与同伴交流你是怎么想的?怎么去做?你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?ABCD北东船有触礁的危险吗A解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20海里.设AD=x海里.问题解决数学化?答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.D┌ABCD北东,25tan,55tanxCDxBD.25tan,55tanxCDxBD55°25°.2025tan55tanxx.79.204663.04281.12025tan55tan20海里x真知在实践中诞生如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).想一想P21要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?古塔究竟有多高这个图形与前面的图形相同,因此解答如下.?这样解答DABC┌50m30°60°,tan,tanxBCBDCxACADC.30tan,60tanxBCxAC.5030tan60tanxx.433253335030tan60tan50mx答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=xm.老师期望:这道题你能有更简单的解法吗？行家看“门道”问题解决某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).做一做P22现在你能完成这个任务吗?请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?ABCD┌楼梯加长了多少解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.求(1)AB-BD的长.ABCD┌4m35°40°,40sinBDBC.40sinBDBC,35sinABBC答:调整后的楼梯会加长约0.48m..48.45736.06428.0435sin40sin35sinmBDBCAB.48.0448.4mBDAB联想的功能问题解决解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.求(2)AD的长.ABCD┌4m35°40°,40tanDCBC.40tanBCDC,35tanACBC答:楼梯多占约0.61m长的一段地面..35tanBCACDCACAD40tan135tan1BC40tan135tan140sinBD.61.0m联想的功能问题解决如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).随堂练习P22怎么做?我先将它数学化!EBCD2m40°5m钢缆长几何解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m,DB=5m.求DE的长.就这样?∴∠BDE≈51.12°.EBCD2m40°5m,40tanBDBC,12.51cosDEDB答:钢缆ED的长度约为7.96m..40tanBDBC).(1955.6240tan2mBDBCBE.24.15240tan5tanBDBEBDE.96.76277.0512.51cosmDBDE真知在实践中诞生问题解决如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方?(结果精确到0.01m3)咋办?先构造直角三角形!ABCD大坝中的数学计算随堂练习P22解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小.有两个直角三角形先作辅助线!ABCD6m8m30m135°过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.E┐F┌∴∠ABC≈17°8′21″.,2445sinDCDEEC则答:坡角∠ABC约为17°8′21″..242424630,24BFDEAF,242424tanBFAFABC解答问题需要有条有理问题解决解:如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方?(结果精确到0.01m3)再求体积!先算面积!,2得由梯形面积公式AFBCADS答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3..27222436S.34.101822721001003mSV100mABCD6m30mF┌计算需要空间想象力问题解决填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=∠A=21sinA21cosA33tanA3023sinA22cosA3tanA22sinA23cosA1tanA6045回味无穷由锐角的三角函数值求锐角303060604545cABCabc2=a2+b2(1)三边的关系∠A+∠B=90°(2)锐角的关系(3)边角的关系(其中A可以换成B)∠A的对边∠A的邻边斜边∠A的对边斜边∠A的邻边∠A的对边∠A的邻边cotA=cosA=sinA=tanA=问题:在Rt∆中除直角外的5个元素(三边和两锐角),已知几个元素,可以求出其余的未知元素?利用三个关系研究这个问题.关系式中有a,b,c三个量,已知两个可求出第三个.关系式中有A,B两个量,已知一个可求出另一个.每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.结论:利用三个关系,在Rt∆除直角外的5个元素中,知道其中的2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余的三个未知元素.下课了!结束寄语•悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考、去发现.