信号与系统讲义(配套郑君里第二版)

《信号与系统》讲义第一章：绪论1第一章：绪论§1.1信号与系统（《信号与系统》第二版（郑君里）1.1）图1-1消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。信号（Signal）：InformationVector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。信息（Information）：消息，内容，情报（牛津英文词典）。语用层次上的信息：效用信息语义层次上的信息：含义语法层次上的信息：形式（狭义信息——Shannon信息论）系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。本课程要解决的两个问题：—信号表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。—信号通过系统的响应：9系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。9系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。§1.2信号分类与典型确定性信号（《信号与系统》第二版（郑君里）1.2，1.4）确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。非确定性信号模糊信号：（例：高矮，胖瘦）。周期信号：f(t)=f(t+nT)，n∈Z非周期信号：f(t)≠f(t+nT)，∀n∈Z伪随机信号：具有周期性的随机信号。周期无穷大则为随机信号。《信号与系统》讲义第一章：绪论2连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。模拟信号：时间和取值都连续的信号。阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。图1-2典型确定性信号：—指数信号：()tftKeα=⋅（1-1）其中，K、α为实数。—正弦信号：()()sinftAtωθ=+（1-2）其中，A为幅度，ω为角频率，θ为初相位。—单边衰减正弦信号：()()()()00sin0ttftKettαω−⎧⎪=⎨≥⎪⎩，，（1-3）其中，α0。—复指数信号：()stftKe=（1-4）其中：()j,,stσω=+∈−∞+∞则有：()()()cosjsinstttftKeKetKetσσωω==+—采样函数：()()sinSatfttt==（1-5）《信号与系统》讲义第一章：绪论3图1-3采样函数的性质：9采样函数()Sat为偶函数，在t的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当,2,,tnπππ=±±±时，信号值为零。9()0Sad2ttπ∞=∫（1-6）9()Sadttπ∞−∞=∫（1-7）9()Sadtt∞−∞=∞∫（1-8）—高斯函数：()2tftEeτ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=⋅（1-9）图1-4高斯函数的性质：9高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，()0niiifttα=∑是一个高阶无穷小量。9高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。《信号与系统》讲义第一章：绪论49高斯函数为正实函数。—光滑函数()1L∞Ω：Ω上任意阶导数都存在的函数的集合。奇异函数：—单位斜变函数：(),00,0ttRtt≥⎧=⎨⎩（1-10）—单位阶跃函数：()1,00,0tutt⎧=⎨⎩（1-11）或()1,00,012,0tuttt⎧⎪=⎨⎪=⎩（1-12）图1-5图1-6—符号函数：()1,0sgn1,0ttt⎧=⎨−⎩（1-13）或()1,0sgn1,00,0tttt⎧⎪=−⎨⎪=⎩（1-14）—门函数：()()()00,0Gtututtt=−−（1-15）图1-7图1-8《信号与系统》讲义第一章：绪论5§1.3冲激函数与广义函数（《信号与系统》第二版（郑君里）1.4，2.9）冲激函数的三种常规定义：—冲激函数的狄拉克（Dirac）定义：()()d10,0ttttδδ+∞−∞⎧=⎪⎨=≠⎪⎩∫（1-16）图1-9—冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为1，等效宽度趋于0的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种：a)矩形逼近()01lim22tututτττδτ→⎡⎤⎛⎞⎛⎞+−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦（1-17）图1-10b)金字塔逼近()()()()01lim1||ttututτδττττ→⎧⎫−+−−⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭（1-18）图1-11《信号与系统》讲义第一章：绪论6c)负指数逼近()||01lim,02tteττδττ−→⎛⎞⎜⎟⎝⎠（1-19）图1-12d)采样函数逼近()()()sinlimSalimkkktkktktktδππ→∞→∞⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1-20）图1-13e)复指数逼近()jj11limdd22kttkkteeξξδξξππ∞−−∞→∞=∫∫（1-21）f)高斯逼近()201limtteπττδτ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠→⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1-22）g)()()22sinlimkkttktδπ→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1-23）h)()()22lim1nntntδπ→∞+（1-24）《信号与系统》讲义第一章：绪论7—检验函数定义：9定义（检验函数的通俗定义，testfunction）：区间Ω(a,b)上的光滑函数()tφ称为检验函数，ab−∞∞。检验函数的全体记为()ΩD。9冲激函数的检验函数定义：对于()tφ∀∈()ΩD，若有：()()()()()d0fttftttφφφΩ=∫，（1-25），则()()fttδ（1-26）冲激函数的性质：—取样（筛选）：若()ft有界，且在t=0连续，则有：()()()()0fttftδδ=（1-27）—尺度变换：()()1ttδαδα=（1-28）—偶函数：()()ttδδ−=（1-29）—积分：()()dtutttδ−∞=∫（1-30）定义（积分算子）：1dptτ−∞∫（1-31）为积分算子，则()()1puttδ=（1-32）—()()ddutttδ=（1-33）定义（微分算子）：dpdt（1-34）为微分算子，则：()()ptutδ=（1-35）—()()()()()d0tttttδφδφφΩ==∫，（1-36）《信号与系统》讲义第一章：绪论8其中()tφ有界，且在t=0处连续。—筛选特性：()()()()()000dttttttttδφδφφΩ−=−=∫，（1-37）—()()()()100ftftttδδ−′=−（1-38）其中，()ft是t的单调函数，()()0000ftft′=≠，。证明：()tφ∀∈()ΩD，考虑()()()()()()dfxxfxxxδφδφΩ=∫，，令()()()00,ddyfxyfxyfxx′=⇒===，上式=()()()()()1dfafbyxyfxδφ′∫()()()()dfafbyyyδΨ∫()()()000xfxφ=Ψ=′()()()00xxfxxδφ′=−/，()()()()100ftftttδδ−′⇒=−#证毕—若光滑函数()ft满足：()12,,|0tttft==…，且()01,2,...ifti′≠∀=，，则：()()()()1iiiftftttδδ−′=−∑（1-39）广义函数（简称广函）：—定义（supp—support承托／支撑）：称supp(){}(){}|0nfxXRfx=∈≠（1-40）即()fx的非零点，为()fx的支撑。即把函数“支撑”起来的那些点集。其中，(){}|0nXRfx∈≠为集合(){}|0nXRfx∈≠的闭包。—定义（检验函数的严格定义）：设Ω⊆Rn为开域，φ是Ω上的实（复）函数，具有以下性质：1)φ是Ω上的光滑函数（各阶导数处处存在）；2)supp{φ}是Ω上的有界闭集（称为紧集）。《信号与系统》讲义第一章：绪论9则称φ是Ω上的检验函数。检验函数的全体记为D(Ω)。例：()1,10,1xxfxx⎧−⎪=⎨≥⎪⎩图1-13(),Ω−∞+∞，{}[]supp1,1f=−有界闭，但在0x=处()fx的左、右导数不等，导数不存在，所以()fx不是一个检验函数。例：()1exp,110,1xxfxx⎧⎛⎞−⎪⎜⎟⎜⎟−=⎨⎝⎠⎪≥⎩{}[]supp1,1f=−是(),R−∞+∞中的有界闭集，()fx对(),xR∀∈−∞+∞无穷可导，()()fxΩ∴∈D。—定义（广函）：给定函数列(){}1mmfx∞=，若对于()xφ∀∈D(Ω)，均有：()()()()limmmfxxfxxφφ→∞=，，（1-41）即：()()lim()()dmmfxxdxfxxxφφΩΩ→∞=∫∫（1-42）则称()fx是(){}1mmfx∞=的弱极限，或称为广义极限。反过来，称(){}1mmfx∞=弱收敛于()fx，而()fx称为D(Ω)上的广义函数。亦即：广义函数是函数序列的某种极限。—冲激函数的广义函数定义：对于()xφ∀∈D(Ω)，若有：()()()()()()()limd0mmfxxfxxfxxtφφφφ→∞Ω===∫，，（1-43）则：()()()limmmfxfxxδ→∞=（1-44）为冲激函数。—广函的（广义）导数：()xφ∈D(Ω)在区间[,]ab之外恒为0。考虑D(Ω)《信号与系统》讲义第一章：绪论10上的广函()fx，则有：()()()()()()()1nnnfxxfxxφφ=−，，（1-45）即：()()()()()()()d1dbbnnnaafxxxfxxxφφ=−∫∫（1-46）特别地，()()()()()()()()()()110nnnnnxxxxδφδφφ=−=−，，（1-47）冲激偶()xδ′：—已知()fx连续可微，()()()()()()()()()0101nnknnkkknkxfxCfxδδ−==−−∑（1-48）特别地，()()()()()()00fxxfxfxδδδ′′′=−+（1-49），()xδ′称为冲激偶。证明：对()xφ∀∈D(Ω)，()()()(),nxfxxδφ()()()()dnxfxxxδφΩ=∫()()()()01|nnxfxxφ==−⎡⎤⎣⎦()()()()()001nnnkkknkxCfxxφ−==⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦∑()()()()()0100nnnkkknkCfφ−==−∑()()()()()()010,nnknknknkCfxxδφ+−==−∑()()()()()()()()()0101nnknnkkknkxfxCfxδδ−=⇒=−−∑《信号与系统》讲义第一章：绪论11图1-14图1-15—冲激偶的性质：9奇函数：()()ttδδ′′=−−（1-50）9()d0ttδ∞−∞′=∫（1-51）9()()ddtttδδ′=（1-52）9()()()()()()dd00ddttttttδφδφφδ′==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（1-53）9()()11ttδαδαα′′=（1-54）§1.4信号分解（《信号与系统》第二版（郑君里）1.5）直流分量与交流分量：—直流分量：信号的平均值称为信号的直流分量。直流分量＝()dft()1dbafttba−∫（1-55）—交流分量：从原信号中去掉直流分量即得到信号的交流分量。交流分量＝()aft()ft－直流（1-56）—交直流分解：()ft＝()dft+()aft（1-57）奇分量与偶分量：—偶分量：()()()12eftftft=+−⎡⎤⎣⎦（1-58）《信号与系统》讲义第一章：绪论12—奇分量：()()()12oftftft=−−⎡⎤⎣⎦（1-59）—奇偶分解：()ft=()eft+()oft（1-60）实部分量与虚部分量：—实部：()()()*12rftftft⎡⎤=+⎣⎦（1-61）—虚部：()()()*1j2iftftft⎡⎤=−⎣⎦（1-62）—虚实分解：()ft=()rft+()jift（1-63）脉冲分解：图1-16()()()()max0limiiiiiitiiuttutttftfttt∞Δ→=−∞−−−−Δ⎡⎤⎣⎦=ΔΔ∑()()max0limiiiitifttttδ∞Δ→=−∞=−Δ∑()()dftτδττ