各省各年的高考数学难题

1（四川卷）(12)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2与l3同的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是A.23B.364C.473D.3212解析：选D．过点Ｃ作2l的垂线4l，以2l、4l为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设(,1)Aa、(,0)Bb、(0,2)C，由ABBCAC知2222()149abba边长，检验A：222()14912abba，无解；检验B：22232()1493abba，无解；检验D：22228()1493abba，正确．本题是把关题．在基础中考能力，20、（本小题满分12分）设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．（Ⅰ）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx即33axbxcaxbxc∴0c∵2'()3fxaxb的最小值为12∴12b又直线670xy的斜率为16因此，'(1)36fab∴2a，12b，0c．（Ⅱ）3()212fxxx．2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：2x(,2)2(2,2)2(2,)'()fx00()fx极大极小所以函数()fx的单调增区间是(,2)和(2,)∵(1)10f，(2)82f，(3)18f∴()fx在[1,3]上的最大值是(3)18f，最小值是(2)82f．21、（本小题满分12分）设1F、2F分别是椭圆2214xy的左、右焦点．（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PFPF，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点(0,2)M的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．（Ⅰ）易知2a，1b，3c．∴1(3,0)F，2(3,0)F．设(,)Pxy(0,0)xy．则22125(3,)(3,)34PFPFxyxyxy，又2214xy，联立22227414xyxy，解得22113342xxyy，3(1,)2P．（Ⅱ）显然0x不满足题设条件．可设l的方程为2ykx，设11(,)Axy，22(,)Bxy．联立22222214(2)4(14)1612042xyxkxkxkxykx∴1221214xxk，1221614kxxk由22(16)4(14)120kk322163(14)0kk，2430k，得234k．①又AOB为锐角cos00AOBOAOB，∴12120OAOBxxyy又212121212(2)(2)2()4yykxkxkxxkxx∴1212xxyy21212(1)2()4kxxkxx2221216(1)2()41414kkkkk22212(1)21641414kkkkk224(4)014kk∴2144k．②综①②可知2344k，∴k的取值范围是33(2,)(,2)22．22、（本小题满分14分）已知函数2()4fxx，设曲线()yfx在点(,())nnxfx处的切线与x轴的交点为1(,0)nx(*)nN，其中1x为正实数．（Ⅰ）用nx表示1nx；（Ⅱ）若14x，记2lg2nnnxax，证明数列{}na成等比数列，并求数列{}nx的通项公式；（Ⅲ）若14x，2nnbx，nT是数列{}nb的前n项和，证明3nT．解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．（Ⅰ）由题可得'()2fxx．所以曲线()yfx在点(,())nnxfx处的切线方程是：()'()()nnnyfxfxxx．即2(4)2()nnnyxxxx．4令0y，得21(4)2()nnnnxxxx．即2142nnnxxx．显然0nx，∴122nnnxxx．（Ⅱ）由122nnnxxx，知21(2)22222nnnnnxxxxx，同理21(2)22nnnxxx．故21122()22nnnnxxxx．从而1122lg2lg22nnnnxxxx，即12nnaa．所以，数列{}na成等比数列．故111111222lg2lg32nnnnxaax．即12lg2lg32nnnxx．从而12232nnnxx所以11222(31)31nnnx（Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31nnnx，∴1242031nnnbx∴111112122223111113313133nnnnnnbb当1n时，显然1123Tb．当1n时，21121111()()333nnnnbbbb∴12nnTbbb5111111()33nbbb11[1()]3113nb133()33n．综上，3nT(*)nN．（天津卷）21．（本小题满分14分）在数列na中，1112(2)2()nnnnaaanN，，其中0．（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）求数列na的前n项和nS；（Ⅲ）证明存在kN，使得11nknkaaaa≤对任意nN均成立．22．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，，是椭圆上的一点，212AFFF，原点O到直线1AF的距离为113OF．（Ⅰ）证明2ab；（Ⅱ）设12QQ，为椭圆上的两个动点，12OQOQ，过原点O作直线12QQ的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a，2232333(2)(2)222a，63343444(22)(2)232a．由此可猜想出数列na的通项公式为(1)2nnnan．以下用数学归纳法证明．（1）当1n时，12a，等式成立．（2）假设当nk时等式成立，即(1)2kkkak，那么111(2)2kkkaa11(1)222kkkkkk11[(1)1]2kkk．这就是说，当1nk时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2nnnan对任何nN都成立．解法二：由11(2)2()nnnnaanN，0，可得111221nnnnnnaa，所以2nnna为等差数列，其公差为1，首项为0，故21nnnan，所以数列na的通项公式为(1)2nnnan．（Ⅱ）解：设234123(2)(1)nnnTnn，①345123(2)(1)nnnTnn②当1时，①式减去②式，得212311(1)(1)(1)1nnnnnTnn，21121222(1)(1)(1)1(1)nnnnnnnnT．这时数列na的前n项和21212(1)22(1)nnnnnnS．当1时，(1)2nnnT．这时数列na的前n项和1(1)222nnnnS．7（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1nnaa的第一项21aa最大，下面证明：21214,22nnaanaa≥．③由0知0na，要使③式成立，只要212(4)(2)nnaan≥，因为222(4)(4)(1)(1)2nnnan124(1)424(1)2nnnnnn·1212222nnnnan，≥≥．所以③式成立．因此，存在1k，使得1121nknkaaaaaa≤对任意nN均成立．22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）证法一：由题设212AFFF及1(0)Fc，，2(0)Fc，，不妨设点()Acy，，其中0y．由于点A在椭圆上，有22221cyab，即222221abyab．解得2bya，从而得到2bAca，．直线1AF的方程为2()2byxcac，整理得2220bxacybc．由题设，原点O到直线1AF的距离为113OF，即242234cbcbac，将222cab代入上式并化简得222ab，即2ab．证法二：同证法一，得到点A的坐标为2bca，．过点O作1OBAF，垂足为B，易知1FBO△∽12FFA△，故211BOFAOFFA．由椭圆定义得122AFAFa，又113BOOF，AO1F2FBxy8所以2212132FAFAFAaFA，解得22aFA，而22bFAa，得22baa，即2ab．（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为00()xy，．当00y时，由12ODQQ知，直线12QQ的斜率为00xy，所以直线12QQ的方程为0000()xyxxyy，或ykxm，其中00xky，2000xmyy．点111222()()QxyQxy，，，的坐标满足方程组22222ykxmxyb，．将①式代入②式，得2222()2xkxmb，整理得2222(12)4220kxkmxmb，于是122412kmxxk，21222212mbxxk．由①式得2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxk2222222222242121212mbkmmbkkkmmkkk··．由12OQOQ知12120xxyy．将③式和④式代入得22222322012mbbkk，22232(1)mbk．将200000xxkmyyy，代入上式，整理得2220023xyb．当00y时，直线12QQ的方程为0xx，111222()()QxyQxy，，，的坐标满足方程组022222xxxyb，．所以120xxx，2201222bxy，．9由12OQOQ知12120xxyy，即22200202bxx，解得22023xb．这时，点D的坐标仍满足2220023xyb．综上，点D的轨迹方程为22223xyb．解法二：设点D的坐标为00()xy，，直线OD的方程为000yxxy，由12ODQQ，垂足为D，可知直线12QQ的方程为220000xxy