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14.1整式的乘法克拉玛依市第三中学龚婷一、教材分析（一）教材地位八年级上册第十四章是“整式的乘法与因式分解”，本章属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前已经学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程及不等式的基础上引进的，是承前启后的作用。（二）教学目标:1、知识与技能目标：掌握同底数幂的乘法（除法）法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式、以及多项式乘多项式的法则。（二）教学目标：2、过程与方法目标（1）、能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，让学生经历具体问题的探索过程培养符号感和推理能力。（2）、转化思想的体现，如单项式的乘法转化为同底数相乘，单项式乘多项式转化为单项式乘法，多项式乘多项式转化为单项式乘多项式再转化为单项式乘法。（3）、整式乘法的几何意义，体现数形结合思想。（4）、通过体会幂的意义，探究幂的乘方的运算法则的过程，及各种运算算理等，发展推理能力和有条理的表达能力。（5）、探究同底数幂的除法法则、整式除法法则意义等，培养学生的探究能力、逆向思维能力。（6）、体现培养学生怎样的思维品质和形成怎样的解决问题的策略。（二）教学目标：3、情感态度与价值观（1）、在教学过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。（2）、在教学过程中探索知识间的联系，能通过猜想获得成功，享受成功的喜悦，培养学生的兴趣和信心。（三）、重点、难点1、重点（1）掌握同底数幂的乘法（除法）法则、幂的乘方法则、积的乘方法则。（2）单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式、以及多项式乘多项式的法则。（三）、重点、难点2、难点（1）底数互为相反数时幂的乘法法则，在运算时正确选用运算法则。（2）在运用单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式、以及多项式乘多项式的法则时结果中项的符号和字母的指数，在多项式乘多项式法则的推导过程中对整体思想理解。（3）根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法法则，以及单项式除单项式、多项式除单项式的法则。二、教法分析（一）、强调重要的数学思想方法的渗透（二）、充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程（一）强调重要的数学思想方法的渗透1.根据数与式之间的联系，通过“类比”的思想方法，由数的运算引出式的运算规律。体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性，强调整式乘法与整式除法是互逆运算。2、讲解整式乘法法则、除法法则时，注意“转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，而单项式乘法则“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法。又例如，多项式与单项式相除的法则，第一步是“转化”为单项式与单项式相除，第二步则是“转化”为有理数的除法与同底数幂的除法。3、注意了代数与几何之间的联系，在整式乘法中，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一。（二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，这是本章的一个突出特点。密切联系实际，体现知识的形成和应用过程。感受学习同底数幂的乘法的必要性问题一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103s可进行多少次运算？（1）如何列出算式？（2）1015的意义是什么？（3）怎样根据乘方的意义进行计算？三、教学内容分析探索并推导同底数幂的乘法的性质根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？（1）（2）（3）．527222；325aaa；555mnmn探索并推导同底数幂的乘法的性质上述三个乘法运算的乘数有什么共同的特征？（1）（2）（3）．527222；325aaa；555mnmn探索并推导同底数幂的乘法的性质它们的积都是什么形式？积的各个部分与乘数有什么关系？（1）（2）（3）．527222；325aaa；555mnmn探索并推导同底数幂的乘法的性质根据你的观察，你能再举一个例子，使它具有上述三个乘法运算的乘数的共同特征吗？不写计算过程直接猜出它的运算结果．（1）（2）（3）．527222；325aaa；555mnmn探索并推导同底数幂的乘法的性质你能用符号表示你发现的规律吗？（）mnmnaaa（1）（2）（3）．527222；325aaa；555mnmn（m，n都是正整数）mnaaaa（）个 探索并推导同底数幂的乘法的性质你能将上面发现的规律推导出来吗？mna mnaa manaaaaaaa个个 （）（）探索并推导同底数幂的乘法的性质通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出同底数幂的乘法的运算性质吗？同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例计算：（1）（2）（3）（4）6aa ；25xx； 43222（-）（-）（-）；31.mmxx运用同底数幂的乘法的运算性质练习计算（底数互为相反数的幂的乘法运算）（1）23222111---（）（）（）； 运用同底数幂的乘法的运算性质323(-3)(-3)（2）观察计算结果，你能发现什么规律？创设情境，导入新知问题根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:（1）（2）（3）（m是正整数）．3mmmmaaaaa（）（）==2322233333（）（）==；23222aaaaa（）（）==；细心观察，归纳总结===mnmnamnmmmmmmmnaaaaaa个个（）=mna（）对于任意底数a与任意正整数m，n，？（m，n都是正整数）多重乘方可以重复运用上述法则：细心观察，归纳总结（m，n都是正整数）．=mnmnaa（）幂的乘方，底数不变，指数相乘．=pmnmnpaa（）幂的乘方性质：（p是正整数）．动脑思考，例题解析解:（1）（2）（3）（4）353515101010（）==；444416aaa（）==；222mmmaaa（）==；434312-=-=-.xxx（）例1计算：（1）（2）（3）（4）5310（）；44a（）；2ma（）；43-.x（）动脑思考，变式训练练习计算下列各题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3310（）；32x（）；5-mx（）；235aa（）；723x（）；222-.nnxx（）（）你能发现有何运算规律吗？=nabnabababab个（）（）（）（）=nanbaaabbb个个（）（）=.nnab 积的乘方:.=nnnabab（） 问题根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：（n是正整数）．nab（）动手操作，得出性质（n是正整数）．当n是正整数时，三个或三个以上因式的积的乘方，也具有这一性质吗？归纳总结积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．推广：.=nnnnabcabc（） 能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？动脑思考，例题解析解:（1）（2）（3）（4）3333228==aaa（）； 333355125-=-=-bbb（）（）； 2222224==xyxyxy（）（）； 34434122216-=-=.xxx（）（）（） 例3计算（某一项漏乘方、结果的符号）（1）（2）（3）（4）32a（）； 35-b（）； 22xy（）； 342-.x（） 动脑思考，变式训练练习计算：（1）（2）（3）（4）4（ab）；312xy（-）232ab（）-23(310)探索法则怎样计算？你能说说每步运算的依据吗？问题光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球到太阳的距离约是多少吗？52351010（）（）探索法则52351010（）（）52axbx 5235xx 问题观察这三个算式有何共同的特点？单项式乘以单项式的法则:单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（转化的思想将未知向已知转化）归纳法则请你用自己的语言概括单项式乘以单项式的法则.巩固法则例1计算:（运算顺序、个别项漏写（1）题中的单独字母）（1）（2）253aba（-）（-）； 3225.xxy（）（-） 巩固法则例2计算下列各式：（1）（2）（3）2335xx； 242yxy（-）； 2234.xx（-） （4）3223aa例3计算下列各式：（1）（2）53210610（）（）； 3223.abaab（-）（-）（-） 巩固法则巩固法则练习1下面的计算对不对？如果不对，应该怎样改？（1）（2）（3）（4）326325aaa=； 224236xxx=； 2243412xxyx=； 35155315.yyy= 探索法则问题我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长p米，宽b米的长方形绿地，向两边分别加宽a米和c米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？abcppapbpc你认为这两个代数式之间有着怎样的关系呢？这用到了数学中的什么思想方法？探索法则不同的表示方法：++pabc（）++papbpc单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（转化的思想、类比的思想）探索法则请你用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则．巩固法则例1计算（注意结果项的符号的确定，多项式的项的符号）（1）（2）2431-+xx（）（）； 221232.ababab（-） 巩固法则练习1计算下列各式：（1）（2）（3）（4）352-aab（）；36--xyx（）（）；2523xxx（-4）；222+.aaabb（-）（-）巩固法则练习2化简：21325xxxxxx（）（）-1++()解决实际问题问题1已知某街心花园有一块长方形绿地，长为am，宽为pm．则它的面积是多少？若将这块长方形绿地的长增加bm，则扩大后的绿地面积是多少？apbaqb探索法则问题2若将原长方形绿地的长增加bm、宽增加qm，你能用几种方法求出扩大后的长方形绿地的面积呢？P根据上节课积累的探究经验，你能得到什么结论呢？探索法则abpq（）（）；apqbpq（）（）；pabqab（）（）；.apaqbpbq 不同的表示方法：探索法则=abpqapaqbpbq（）（）你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗？多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（转化思想类比思想）巩固法则例1计算（结果中每一项的符号的确定、结果项的个数确定）（1）（2）（3）312xx（）（）；8xyxy（）（）；22.xyxxyy（）（） 巩固法则练习计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）213xx（）（）；23mnnm（）（）；22325.xxx（）（） 21a（）；33abab（）（）；2214xx（）（）；根据上述求解过程，观察计算结果的各项系数与原式中的系数有怎样的关系？巩固法则问题3计算:（1）（2）（3）（4）23xx（）（）；41xx（）（）；42yy（）（）；53.yy（）（）同底数幂相除，底数不变，指数相减．思考与讨论为什么a≠0？新知识新环节（a≠0，m，n为正整数，m＞n）mnmnaaa同底数幂除法的性质：即任何不等于0的数的0次幂都等于1．新知识新环节规定：（a≠0）01a问题当被除式的指数等于除式的指数时：（1）如果根据这条性质计算结果是多少？（2）如果根据除法意义计算结果是多少？