圆幂定理

圆幂定理PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。1.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，并且垂直平分切点弦。小结：APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。2.圆的外切四边形的两组对边的和相等例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=70°,求∠COD的度数C·OPBDAE下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,学习与圆有关的比例线段的几个定理，希望大家做好记录.探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？OBDACP图1证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？OBDACP图２OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴△APD∽△CPB.探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD与AB不垂直，如图３,AB、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还成立吗？OBDACP图３OBDACP图２PA·PB=PC·PD……(2)PA·PB=PC·PD……(3)综上所述，不论AB、CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.OBDACP几何语言：AB、CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P,∴PA•PB=PC•PD.上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段．探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？OBDACP图3OBA(C,P)D图4OBDACP图5当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA•PB=PC•PD=0仍成立.当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA•PB=PC•PD仍成立.如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D.求证:PA∙PB=PC∙PD.证法2：连接AC、BD，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形,∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P,∴△PBD∽△PCA.∴PD：PA=PB：PC.∴PA∙PB=PC∙PD.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）:∵PAB,PCD是⊙O的割线,∴PA∙PB=PC∙PD.OCPADB点P从圆内移动到圆外PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3PA∙PB=PC∙PD图5OCPADBOA(B)PCD使割线PA绕P点运动到切线的位置，是否还有PA∙PB=PC∙PD？证明:连接AC、AD,同样可以证明△PAD∽△PCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PC•PD仍成立.如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD交⊙O于C、D.求证：PA2=PC∙PD.证明：连接AC、AD，∵PA切⊙O于点A,∴∠D=∠PAC.又∠P=∠P,∴△PAC∽△PDA.∴PA：PD=PC：PA.∴PA2=PC∙PD.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）:∵PA是⊙O的切线,PCD是⊙O的割线,∴PA²=PC∙PD.ODPCA探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？点P从圆内移动到圆外.相交弦定理PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3割线定理PA∙PB=PC∙PD图5OCPADB使割线PA绕P点运动到切线的位置.OA(B)PCD切割线定理PA2=PC•PD使割线PC绕P点也运动到切线的位置.切线长定理PA=PC,∠APO=∠CPOOA(B)PC(D)思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.PC切⊙O于点C=PA∙PB=PC²切割线定理OBPCA割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B=PA∙PB=PC∙PD割线定理OBCADPAB交CD于点P=PA∙PB=PC∙PD相交弦定理OBPCADPA、PC分别切⊙O于点A、C=PA=PC,∠APO=∠CPO切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度可以得到：2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBC′O说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！BADC例1如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.OBPCAD解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD,∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.∴CD=10.练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=103ODPATBCPA·PB=(7-R)·(7+R)△PAC∽△PDB△BED∽△AEC△PAD∽△PCBOCPADBEOPADCB练习2.如图,A是⊙O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,AD⊥BC，D为垂足.求证：PB:PD=PO:PC.分析：要证明PB：PD=PO：PC,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB•PC=PD•PO,而由切割线定理有PA2=PB•PC,只需再证PA2=PD•PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理得到.课堂小结1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，它们统称圆幂定理。2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与代数、几何等知识的联系及应用