高考数学经典题汇编及历年高考真题

1高考数学经典试题汇编1.下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）……aj1……712（）（）（）……aj2……（）（）（）（）（）……aj3……（）（）（）（）（）……aj4………………………………………………ai1ai2ai3ai4ai5……aij………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．（1）写出a45的值；（2）写出aij的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．（1）按第一行依次可读出：,1013a1314a，1615a；按第一行依次可读出：,1723a2224a，2725a；最后，按第５列就可读出：,3835a4945a．（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：ajj1431()而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：ajj2751()……通过递推易知，第i行是首项为431()i，公差为21i的等差数列，故有43(1)(21)(1)(21).ijaiijijj（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得Nijj()21．从而12)12(212jjiN()()2121ij，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得212121Nkl()()，从而Nkllakl()21，由此可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.2.求3244lg22xyyxyx,,311。3.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比237大的概率是1736。4.函数1aayx及其反函数的图象与函数xy1的图象交于A、B两点，若22AB，则实数a的值等于_________。21(21)a5.从装有1n个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球Nnmnm,,0，共有mnC1种取法。在这mnC1种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，共有mnCC01种取法；另一类是取出的m个球有1m个白球和1个黑球，共有111mnCC种取法。显然mnmnmnCCCCC111101，即有等式：mnmnmnCCC11成立。试根据上述思想化简下列式子：kmnkkmnkmnkmnCCCCCCC2211mknCNnmknmk,,,1。6.某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润y（单位：万元）与年数xNx满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用（C）（A）3年（B）4年（C）5年（D）6年7.（14分）已知函数Zkxxfkk22)(，且)3()2(ff（1）求k的值；（2）试判断是否存在正数p，使函数xpxfpxg12)(1)(在区间2,1上的值域为817,4。若存在，求出这个p的值；若不存在，说明理由。解：（1）∵)3()2(ff，∴022kk，即022kk，∵Zk，∴10或k（2）2)(xxf，ppppxpxpxpxg414212121)(222；当2,1212pp，即,41p时，1)2(,4)1(,2,8174142ggppp；当,2212pp时，∵0p，∴这样的p不存在。当1,212pp，即41,0p时，4)2(,817)1(gg，这样的p不存在。综上得，2p。8.（14分）如图，设圆3222yx的圆心为C，此圆和3抛物线02ppxy有四个交点，若在x轴上方的两个交点为A、B，坐标原点为O，AOB的面积为S。（1）求P的取值范围；（2）求S关于P的函数)(pf的表达式及S的取值范围；（3）求当S取最大值时，向量CBCA,的夹角。解：（1）把pxy2代入3222yx得0142xpx由0002121xxxx，得00401282pppp，即2,0p（2）设2211,,,pxxBpxxA，AB的方程：121211xxxxpxpxpxy121xxxxp，即0121121xxxppxyxxxp即02121xpxyxxxp，即06pypxp点O到AB的距离6pd，又pxxpxxAB612221221∴21221661221PPPPS，即21,0S（3）S取最大值时，1P，解方程0132xx，得215,253,215,253BA215,215,215,215CBCA，011CBCA∴向量CBCA,的夹角的大小为90。9.（16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为540亿美元。同时美国战后每月还要投入约4亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约10亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约1亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以0050的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？解：设n个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则nnn4540]35.15.15.11[1032即75.59375.28n，65.20n，即21个月后，美国才能收回在伊的“投资”。410.数列,5,4,4,4,4,3,3,3,2,2,1的第2004项是____________。6311.在等比数列}{na中，20101a，公比31q，若)(321Nnaaaabnn，则nb达到最大时，n的值为____________。812.设函数为常数）baxbxaxf,(||)(，且①0)2(f；②)(xf有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对),(ba为______________。满足)0()4,(ttt的任一组解均可13.已知两条曲线0:,1:22221xbxyaxCyxC（ba,不同时为0）.则“221ab”是“1C与2C有且仅有两个不同交点”的A(A)充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件14.已知二次函数)(41)(2Rtatbattf有最大值且最大值为正实数，集合}0|{xaxxA，集合}|{22bxxB。（1）求A和B；（2）定义A与B的差集：AxxBA|{且}Bx。设a，b，x均为整数，且Ax。)(EP为x取自BA的概率，)(FP为x取自BA的概率，写出a与b的三组值，使32)(EP，31)(FP，并分别写出所有满足上述条件的a（从大到小）、b（从小到大）依次构成的数列{na}、{nb}的通项公式（不必证明）；（3）若函数)(tf中，naa，nbb（理）设1t、2t是方程0)(tf的两个根，判断||21tt是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出)(tf的最大值)(nf，并判断)(nf是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（1）∵)()(412Rttbattfa有最大值，∴0a。配方得ababtatf4122)()(，由1041bab。∴}0|{xaxA，}|{bxbxB。（2）要使32)(EP，31)(FP。可以使①A中有3个元素，BA中有2个元素，BA中有1个元素。则2,4ba。②A中有6个元素，BA中有4个元素，BA中有2个元素。则3,7ba。③A中有9个元素,BA中有6个元素,BA中有3个元素。则4,10ba。1,13nbnann。（3）（理）0)(tf，得01nb。691169121221211224)(||)(nnnnnnnabttttttng，∵692911nnnn，当且仅当31n时等号成立。∴)(ng在N上单调递增。41max21)1(||gtt。又0)(limngn，故没有最小值。（文）∵nnnnnabng412141241)(单调递增，∴41min)1()(fnf，又121)(limnfn，∴没有最大值。15.把数列121n的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表：第k行有12k个数，第t行的第s个数（从左数起）记为stA,，则17,8A1287。16.我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，8PA公里，10PB公里，60APB。2911911711511311119171513115（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线MAP或MBP的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线MAP比路线MBP的路程短，请说明理由。解：（1）建立直角坐标系（如图），2MBMA，点M的轨迹为双曲线的一部分，2128010064AB，即20,21,12bca点M的轨迹方程为0,112022yxyx（2）走私船如在直线l的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线MAP的路程较短。理由：设AM的延长线与（1）中曲线交于点N，则BNPBANPAMNBNPBMNANPAAMPABMPB17.已知函数)(xf对任意的整数yx,均有xyyfxfyxf2)()()(，且1)1(f。（1）（3分）当Zt，用t的代数式表示)()1(tftf；（2）（理）（10分）当Zt，求)(tf的解析式；（文）（6分）当Nt，求)(tf的解析式；（3）如果Rax,1,1，且affffxxxx2222)2004()2003()2()1(恒成立，求a的取值范围。（理5分；文9分）解：（1）令ttftftftftfytx21)()1(,2)1()()1(,1,（2）（理）当0Zt时，12)1()(,,3)1()2(,1)0()1(,0)0(ttftffffff，上述各式相加，得2)(ttf当Zt时，,,5)3()2(,3)2()1(,1)1()0(ffffff]1)(2[12)()1(tttftf上述各式相加，得2)()(ttf，即2)(ttf综上，得2)(,ttfZt。（文）Nt，2)(ttf6（3）)1,1(200420032004220041