1.1.1集合的含义及表示――第一课时上课用

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义问题提出“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？我们以前已经接触过的集合有自然数集合，正分数集合，有理数集合,不等式x-73的解集；到角的两边的距离相等的所有点的集合；是角平分线到线段的两个端点距离相等的所有点的集合；是线段垂直平分线知识探究（一）考察下列问题：（1）1～20以内的所有质（素）数；（2）绝对值小于3的整数；（3）我校的篮球队员；（4）我国古代的四大发明（5）抛物线y=x2上的点．思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素.集合的对象没有限制上述5个集合中的元素分别是什么？思考2：怎样理解“元素”与“集合”？一般地，把研究的对象称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.集合的定义集合的字母表示知识探究（二）集合中的元素有什么特征？思考1：某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？集合中的元素必须是确定的思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？集合中的元素是不重复出现的思考3：我班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？集合中的元素是没有顺序的{1，2}，{2，1}是否为同一集合?只要构成两个集合的元素是一样的，我们就说这两个集合是相等的集合的性质1，确定性2，互异性3，无序性例1下列的各组对象能否构成集合：(1)所有的好人；(2)小于2003的数；(3)和2003非常接近的数。(4)小于5的自然数；(5)不等式2x+17的整数解；(6)方程x2+1=0的实数解；理论迁移判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.()(2)漂亮的花组成集合.()(3)本班所有的姓氏组成集合.()(4)由3个不同的元素进行排序可以构成6个不同的集合.()提示：(1)错误.集合中元素满足互异性.(2)错误.因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花构不成集合.(3)正确.因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集合.(4)错误.集合中元素满足无序性.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×知识探究（三）思考：设集合A表示“1～20以内的所有质数”，那么3，4，5，6这四个元素哪些在集合A中？哪些不在集合A中？如果元素a是集合A中的元素，如何用数学化的语言表达？a属于集合A，记作aA如果元素a不是集合A中的元素，如何用数学化的语言表达？a不属于集合A，记作aA集合与元素的关系AAAA6,5,4,3自然数集（非负整数集）：记作N正整数集：记作或*NN知识探究（四）自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？常用数集及其记法整数集：记作Z有理数集：记作Q实数集：记作R例2：用符号“∈”或“”填空(1)3.14Q(2)Q(3)0N+(4)(-2)0N+(5)Q(6)R3232练习：课本11页，第1题【能力提升1：集合与元素的关系】集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，试判断是不是集合A中的元素.【解析】∵＝2＋＝2＋×1，而2∈Z,1∈Z，∴2＋∈A，即∈A.3123－123－333123－例题：由实数，1,0，X构成三元素集合，求实数X的值。解：若=0，则x=0,不符合题意；若=1，则x=1，当x=1时不符合题意，当x=-1时适合；若x=，则x=0,x=1,都不符合题意；综上，x=-12x2x2x2x【能力提升2】集合中元素互异性的简单应用【典型例题】1.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可2.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，则a＝_____________.【解题探究】1.题1集合中含有三个元素，那么2到底是哪个元素？2.题2中实数a有几种选择的可能？利用哪个条件判断？探究提示：1.要么m=2，要么m2－3m＋2=2，此时应分类讨论，并利用集合元素的互异性进行检验.2.a有三种选择的可能，分别是2，4，6，可利用6-a是否属于A判断.【解析】1.选B.若m=2，则22－3×2＋2=0，不满足互异性；若m2－3m＋2=2，则m=0或3，显然当m=0时不满足元素的互异性，故m=3.2.∵A中的三个元素是2,4,6，∴当a＝2时，6－a＝4∈A，适合题意；当a＝4时，6－a＝2∈A，也适合题意；当a＝6时，6－6＝0∉A，不合题意．∴a的值为2或4.答案：2或4【拓展提升】互异性在解决集合问题中的运用在解决集合中元素的问题时，互异性是至关重要的，利用集合元素的特性求参数取值涉及分类讨论的思想方法.在解题中遇到参数的代数式，要采用分类讨论的方法进行研究.【变式训练】由a2,2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.2【解析】选C.因A中含有3个元素，即a2,2－a，4互不相等，将选项中的数值代入验证知选C.【易错误区】忽视集合中元素的互异性致误【典例】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为()A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对【解析】选B.若1∈A，则a=1或a2=1，解得a=1或-1.(1)当a=1时①，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异性，故a≠1.(2)当a=-1时①，集合A中含有两个元素-1和1，符合集合元素的互异性.综上所述，a=-1.【类题试解】集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实数x的值为()A.0B.1C.-1D.1或-1【解析】选C.当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x=－1.【误区警示】【防范措施】1.分类讨论思想的运用解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识.如本例中由1∈A，可知a=1或a2=1.2.集合元素互异性的作用求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数值是否符合要求.如本例中对所求出的1与-1分别进行检验.