第五章-微扰理论

Chapter5.PerturbationTheory1Chapter5微扰理论PerturbationTheoryChapter5.PerturbationTheory2引言前面讨论了量子力学的基本理论，并应用薛定格方程求得了一些简单问题的解。在实际微观体系中，由于哈密顿算符的复杂性，能求出薛定格方程精确解的问题是极少的。例如一个氦原子体系就难以得到精确解。因此，在量子力学中，用近似方法求薛定格方程近似解就显得尤为重要。如:（1）一维无限深势阱问题；（2）线性谐振子问题；（3）势垒贯穿问题；（4）氢原子问题。这些问题都给出了问题的精确解析解。Chapter5.PerturbationTheory3近似方法很多，微扰方法和变分法就是其中两种重要的近似方法。微扰方法又视其哈密顿算符是否与时间有关分为定态微扰和非定态微扰两大类。近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。近似方法的出发点:Chapter5.PerturbationTheory45.1非简并定态微扰理论Nondegenerateperturbationtheoryofstationerystate5.2简并情况下的微扰理论Degenerateperturbationtheory5.3氢原子的一级斯塔克效应FirstorderStarkeffectofhydrogenatom5.4变分法VariationalMethod5.5氦原子基态GroundStatetoHeliumAtom5.6与时间有关的微扰理论Perturbationtheorywithtime讲授内容Chapter5.PerturbationTheory55.6与时间有关的微扰理论Perturbationtheorywithtime5.7跃迁几率TransitionProbability5.6与时间有关的微扰理论Perturbationtheorywithtime5.7跃迁几率TransitionProbability5.8光的发射和吸收Lightemissionandabsorption5.9选择定则SelectionruleChapter5.PerturbationTheory6学习要求：a．了解由初态跃迁到末态的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；b．理解由微扰矩阵元可以确定选择定则；c．理解能量与时间之间的不确定关系：。d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由态跃迁到态的辐射强度均与矩阵元的模平方成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量数的选择定则。if0fiH~Ethiffir5.了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。3.了解定态微扰论的适用范围和条件；1.重点掌握非简并定态微扰理论。要求掌握非简并定态微扰波函数一级修正和能级一、二级修正的计算。2.对于简并的微扰论，能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算。4.关于与时间有关的微扰论要求如下：Chapter5.PerturbationTheory75.1非简并定态微扰理论一、基本方程设体系的哈密顿算符不显含时间，则其定态薛定格方程为(0)ˆˆˆHHH(2)ˆnnnHE(1)当比较复杂，方程(1)难求解时，将写成：ˆHˆH)0()0()0()0(ˆnnnEH(3)其中是基本部分，与它对应的本征值和本征函数由以下方程求出(0)ˆH而相对很小，可视为加在上的微扰。现在的任务是通过和，求出相应的修正项以得到和的近似解，为此，引入一个很小的实数，并将表示为ˆH(0)ˆHˆH0nEˆHChapter5.PerturbationTheory8)1(ˆˆHH(4)(0)(1)2(2)()kknnnnnEEEEE(5)(0)(1)2(2)()kknnnnn(6)将以上几式代入（1）式得：相应地,将和表为实参数的级数形式：nEn将此式展开，便得到一个两边均为的幂级数等式，此等式成立的条件是两边同次幂的系数应相等，于是得到一列方程：(0)(1)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)(0)(1)2(2)ˆˆ()()()()nnnnnnnnnHHEEE(7)5.1非简并定态微扰理论（续1）Chapter5.PerturbationTheory9由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得能量和波函数的近似解.的引入只是为了从方程(7)按数量级分出(8)、(9)、(11)等方程，达到此目的后，便可省去。方程(5)和(6)便写成(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(1)(2)(0)(0)(0)()(1)(1)(1)(2)(2)()(0)ˆ()08ˆˆ()()9ˆˆ()()10ˆˆ()()nnnnnnnnnnnnkkkknnnnnnnnHEHEHEHEHEEHEHEEE20k:1:::(11)5.1非简并定态微扰理论（续2）Chapter5.PerturbationTheory10(1)ˆˆHH(14)为一级修正，11nnE、为二级修正22nnE、kknnE、为级修正k(0)(1)(2)()knnnnnEEEEE(0)(1)(2)()knnnnn(12)(13)二、一级修正当非简并时，属于的本征函数只有一个，它就是波函数的零级近似。（设已归一化）。0nE0n0n0nE0H5.1非简并定态微扰理论（续3）Chapter5.PerturbationTheory110])ˆ[()ˆ()1(*)0()0()0()1()0()0(*)0(dEHdEHnnnnnn为求，以左乘（9）式两边，并对空间积分：1nE0n注意到是厄米算符，是实数，有0ˆH0nE001ˆnnHd001001ˆnnnnnHdEd（15）(0)*(0)(0)(1)ˆ()nnnHEd(1)(0)*(0)(0)*(0)ˆnnnnnEdHdnnnnnHdHE)0(*)0()1(ˆ能量的一级修正值等于在态中的平均值。(1)nEHˆ)0(n再注意的正交归一性，由（1５）式得0n5.1非简并定态微扰理论（续4）Chapter5.PerturbationTheory12已知后，由（９）式可求波函数的一级修正。)1(nE)1(n将按的本征函数系展开)1(n)0(ˆH(0)l(1)(1)(0)1nllla根据态迭加原理，展开系数可为任意常数，故可以选取，使得展开式中不含项，即使，则上展开式可改写为)1(la0)1(na)0(n0)0()1(nnanlllna)0()1()1((1)(1)(0)nlllaor(1６)代入（9）式得5.1非简并定态微扰理论（续5）Chapter5.PerturbationTheory13(0)(1)(0)(0)(1)(0)(1)(0)(0)ˆlllnllnnnllEaEaEH以左乘，并积分，并注意的正交归一性得到：(0)*()mmn(0)l(0)*(0)mlmlddHaEEnmmllnll)0(*)0()1()0()0(ˆ)(（17）令微扰矩阵元dHHnmmn)0(*)0(ˆ（1８）mnmmnHaEE)1()0()0()(则:(1)(0)(0)mnmnmHaEE（19）5.1非简并定态微扰理论（续6）Chapter5.PerturbationTheory14代入（16）式，得波函数的一级修正)0()0()0()1(mmnmnnmnEEH（20）作展开：(2)(2)(0)nllla21将(21)代入（10）式，可得到dHEEHdHEmnmnmnmnnn)0(*)0()0()0()1(*)0()2(ˆˆ)0()0(2||mnnmmEEH5.1非简并定态微扰理论（续7）三、高级修正（能量的二级修正）Chapter5.PerturbationTheory15于是，能量的二级近似波函数的一级近似2(0)(0)(0)||nmnnnnmnmHEEHEE（２２）(0)(0)(0)(0)mnnnmmnmHEE（２３）(1)(1)(0)(0)(0)(0)lnnlllllnlHaEE（２４）)0()2()2(lllna（２５）将波函数的二级修正5.1非简并定态微扰理论（续8）Chapter5.PerturbationTheory16代入（10）式，可得nl其中用乘以上式，再积分(0)*()mmn(0)(0)(0)(2)ˆ()lnllaHE(1)(1)(2)(0)(0)ˆ()lnlnnlaHEE(0)(0)(0)(2)0ˆ()lmnllaHEd(1)(1)(2)(0)0(0)0ˆ()lmnlnmnlaHEdEdmllmd)0(*)0(利用后，上式可写成(0)(0)(1)(1)(2)()llnmllmlnmlllaEEaHE=05.1非简并定态微扰理论（续9）Chapter5.PerturbationTheory17)0()0()1()1()1()0()0()2(1nmmnmlllmnmEEaEHaEEa(0)(0)(0)(0)(0)(0)2()()()mllnnnmnlnmnlnmHHHHEEEEEE(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2()()()mllnmnnnmmmlmnmnlnmHHHHEEEEEE(2)(2)(0)nmmma(0)(0)(1)(1)(1)(2)()mmnlmlmnlaEEaHaE5.1非简并定态微扰理论（续10）Chapter5.PerturbationTheory18不能判别级数是否收敛，因不知级数的一般项,故要求后项远小于前项，即1)0()0(mnmnEEH)()0()0(mnEE（26）5.1非简并定态微扰理论（续11）四、微扰理论适用的条件Chapter5.PerturbationTheory19Ex.Solve:哈密顿量2220212xmmPH本征函数221(0)2()()xnnnxNeHx设一维谐振子受到的微扰（为实参数，且),用微扰法求能量的一级修正。2ˆHx121!2nNnnm2递推关系0)(2)(2)(11nnnnHHH)(x能量一级修正等于微扰算符在无微扰本征函数中的平均值：)1(nEˆH(0)nx方法一：用微扰公式求解：Chapter5.PerturbationTheory20dxHEnnn)0(*)0()1(ˆ2222222223()()xnnnnNNxeHxdxeHd由递推关系)()1()()21()(41)(222nnnnHnnHnHH2mnmneHxHxdx22(1)()()nnnneHHd222(1)2311()()()()()42nnnnnnNEeHHdneHHd5.1非简并定态微