79高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第6章 定积分应用

第六章定积分的应用内容概要名称主要内容定积分的元素法定积分的元素法是一种简单记忆定积分（badxxfA)(）三步骤的方法：1、将iiixfA)(记为dxxfdA)(2、将ni10lim写为ba平面图形的面积直角坐标系X-型Y-型)()(:21xfyxfbxaDAbadxxfxfA))()((12)()(:21ygxygdycDAdcdyygygA))()((12极坐标系)(0:rrDAdrA)(221体积旋转体体积已知平行截面面积的立体体积)(0:xfybxaDA绕x轴旋转：dxxfVba)(2已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为)(xA,立体又被夹于ax和bx两平面间，则：badxxAV)(已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为)(yA,立体又被夹于cy和dy两平面间，则：dcdyyAV)(绕y轴旋转：dxxxfVba)(2)(0:ygxdycDA绕y轴旋转：dyygVdc)(2平面曲线的弧长直角坐标参数方程极坐标L：)(xfy，],[baxdxyds21；badxys21L：)()()(ttytxdtttds)()(22dttts)()(22L：)(rr，；drrds)()(22；drrs)()(22物理应用：1、变力沿直线作功2、水压力3、引力x0y1图6-2-1yxyxDx0y/2/2图6-2-2sinyx1D课后习题全解习题6-2★1．求由曲线xy与直线xy所围图形的面积。知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D表达为X-型：xyxx10，（或D表达为Y-型：yxyy210）∴10)(dxxxSD61)2132(10223xx（10261)(dyyySD）★2．求在区间[0，/2]上，曲线xysin与直线0x、1y所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2x0y4图6-2-32yx22224yxD∵所围区域D表达为X-型：1sin20yxx，（或D表达为Y-型：yxyarcsin010）∴12)cos()sin1(2020xxdxxSD（12arcsin10ydySD）★★3．求由曲线xy2与42xy所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：22422yxxyxy，∴所围区域D表达为Y-型：22422yxyy，∴2316)324()4(2232222yydyyySD（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(22032022yydyyySD）★★4．求由曲线2xy、24xy、及直线1y所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D表达为Y-型：yxyy210，∴34322)2(221023101ydyyySSDD（若用X-型做，则第一象限内所围区域1DbaDD，其中aD：22410xyxx，bD：14212yxx；∴12212201422[()(1)]443DDxxSSxdxdx）★★5．求由曲线xy1与直线xy及2x所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做x0y1图6-2-4224yxyx12D1Dx0y1图6-2-5yx1/yx21Dx0y图6-2-622yx021D解：见图6-2-5∵两条曲线xy1和xy的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2x分别交于)21,2(、2),2(∴所围区域D表达为X-型：xyxx121，∴22211113()(ln)ln222DSxdxxxx★★★6．抛物线xy22分圆822yx的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1DS，剩余面积为2DS∵两条曲线xy22、822yx的交于(2,2)（舍去4x的解），∴所围区域1D表达为Y-型：228222yxyy；又图形关于x轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221yydyyySD（其中222cos18cos22cos2284040sin22202dtttdttdyyty）∴34634282DS★★★7．求由曲线xey、xey与直线1x所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线xey和xey的交点为（0，1），又这两条线和1x分别交于),1(e和),1(1e∴所围区域D表达为X-型：xxeyex10，∴2)()(11010eeeedxeeSxxxxD★★★8．求由曲线xyln与直线ayln及byln所围图形的面积)0(abx0y1图6-2-7xye1xyeDxyxylnaylnbyln0aln1bln图6-2-8知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在xln的定义域范围内所围区域D：yexbya0lnln，∴abedyeSbaybayDlnlnlnln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bxaxy2，（由于下弯，所以0a），将（1，2）代入bxaxy2，得到2ba，因此xaaxy)2(2该抛物线和X轴的交点为0x和aax2，∴所围区域D：2200(2)axayaxax∴2320232026)2()223(])2([aaxaxadxxaaxSaaaaD)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322aaaaaaaaSDxyxey0图6-2-1012DDyex0ra图6-1-11a2得到唯一极值点：4a，∴所求抛物线为：xxy642★★★★10．求位于曲线xey下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：xeyxey，∴在任一点0xx处的切线方程为)(000xxeeyxx而过（0，0）的切线方程就为：)1(xeey，即exy所求图形区域为21DDD,见图6-2-10X-型下的1D：xeyx00，2D：xeyexx10∴222)(1021100eeexeedxexedxeSxxxD★★★11．求由曲线cos2ar所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（0,a）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a，也可选择极坐标求面积的方法做。解：∵作图6-1-11图6-2-123sinar0r6/1D图6-2-13)cos2(2ar0ra6a4a31D知所求图形区域D：cos2022ar∴2222222)2sin2121(2)cos2(21aadaSD★★★12．求三叶玫瑰线3sinar的面积S知识点：平面图形面积思路：三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，而一叶图形又关于6对称，因此选择其中一叶的一半区域1D求其面积解：∵1D：3cos060ar∴260260241)6sin6121(3)3cos(21661aadaSSDD★★★13．求由曲线)cos2(2ar所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域1D求其面积图6-2-14aerra2/aeaeaeD0解：∵1D：)cos2(200ar∴122200141122[2(2cos3)]4[4(sin3sin6)1823212DDSSadaa★★★14．求对数螺线ae)(及射线所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由ae，从到一段曲线及射线所围，由此可确定、的范围解：∵所围区域D：ae0∴)(4212)(21222222eeaeadaeSD★★★★15．求由曲线cos3r及cos1r所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于极轴对称，设在（0，2）内的曲线和极轴围成的半个D为1D区域图6-2-15cos3r0rcos1r3/21D3/图6-2-16sin2r0r2cos2r1D4/6/解：两条曲线cos3r、cos1r交于3处，因此分割区域baDDD1，其中aD：cos1030r，bD：cos3023r122320332031122[(1cos)(3cos)]223191152[(2sinsin2)(sin2)]23422644DDSSdd★★★16．求由曲线sin2r及2cos2r所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于射线2对称，设两条曲线在（0，2）围成的半个D为1D区域x0ya2图6-2-17D)cos1()sin(tayttaxx0y11图6-3-1-1yxD4解：两条曲线sin2r、2cos2r交于6及65因此分割区域baDDD1，其中aD：sin2060r，bD：2cos026r236)2sin412sin41621(2]2cos21)sin2(21[222660266021ddSSDD（和书后答案不同）★★★17．求由摆线)sin(ttax，)cos1(tay)20(t及x轴所围图形的面积知识点：平面图形面积思