周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案-3-4章作业解答

第十四讲作业复习(二)3.1)半径为r的光滑半球形碗,固定在水平面上.一均质棒斜靠在碗缘,一端在碗内,一端则在碗外,在碗内的长度为c,试证棒的全长为证:研究对象为棒,建立直角坐标系并受力分析如图.平衡方程2cossin0tansincos01lcmgRcMmgRmgRFniBxcrc2224xyNRmgAB又几何条件2/)2/(tan22ccr联立上述方程,得crcl22243.2)长为2l的均质棒,一端抵在光滑墙上,而棒身则如图示斜靠在与墙相距为d的光滑棱角上.求棒在平衡时与水平面所成的角度.解:研究对象为棒,受力分析如图.建立直角坐标系为x轴水平向右,y竖直向上平衡方程3/1131coscoscoscos0cos0ldldlmgRdMmgRFniAyABRmgNd2l第3.2题图3.3)两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起,且角ABC形成一直角.如将此棒的A点用绳系于固定点上,棒AB和BC的长度分别为a,b.则当平衡时,AB和竖直直线所成的角满足下列关系解:研究对象为ABC结构,受力分析如图.按照题意,知道abab2tan22ABCm1gm2gR平衡时:ammbmabgmagmMniA)2(tansincos2sin20212211bmam21,abab)2(tan23.5)一均质的梯子,一端置于摩擦系数为1/2的地板上,另一端则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍,爬到梯的顶端时,梯尚未开始滑动,则梯与地面的倾角,最小当为若干?解:研究对象为梯子,人在顶端时,梯子与地面的夹角为,梯子重量p,人重3p.平衡时:0sincos3132l04310210111lNlNpllpMpNNFNNFAAniBBAniyABnix2441tanxyABp3pNANB3.9)证明对角线长度为d的立方体绕其对角线转动的回转半径为解:这是一个求解转动惯量的问题.对任一轴线转动惯量为:coscos2coscos2coscos2coscoscos222yzxzxyzzyyxxIIIIIII设立方体密度为ρ,dm=ρdxdydz,M=a3ρ.现选取过质心为原点,平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零.23dk33coscoscos对6dddd52/2/222/2/2/2/22azzyyxmzyIaaaaaaxx同理65aIIzzyy对角线转动惯量MaaIIIIzzyyxx66coscoscos252223.12)矩形均质薄片ABCD,边长为a与b,重为mg,绕竖直轴AB以初角速0转动.此时薄片的每一部分均受到空气的阻力,其方向垂直于薄片的平面,其值与面积及速度平方成正比,比例系数为k.问经过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半?解:在匀质薄片上沿AD方向取一宽为dx长条做微元,到转轴的距离为xxbxkfd)(d2tABABtmkbabaktmaMtI022/2422d43d4dd3dd00每一个微元受空气阻力整个薄片受阻力矩为:4d)(d4202bakxbxkxMMaff整个薄片绕AB轴的转动惯量为:33dd23022mabaxbxmxIaAB0234kbamtBACDab3.16)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动,其角速度为定值.在其一瞬时,A点的速度为v,其方向则沿对角线AC.试求此瞬时B点的速度.以v,及矩形的边长等表示之假定AB＝a,BC＝b.解1:用解析法,选取坐标如图,以A为基点BAyByBAxBxBAABxvvyvvrvvaxyB,0andBababvavvbaavvvvAAByAAAxBx2222sincos解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线，瞬心在O点，距离A为vA/.连OB，因角+=90o，所以222222221cos2abaabvvABOAABOAOB222222abaabvvOBvByxaObABDC3．20)质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上.柱的外面绕有轻绳,绳子跨过一个很轻的滑轮,并悬挂一质量为m的物体,设圆柱体只滚不滑,并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的,求圆柱体质心的加速度a1,物体的加速度a2及绳中张力T.解:这是平面平行运动,对象圆柱和物体受力分析如图,坐标系向右,向下为正21200112::d1,d2d,d2CCAmamgTMaTfITfRIMRtxaxRtRRaaa物体圆柱mMMmgTmMmgamMmga833838,83421mrTTmgMfMgN4.2)一直线以匀角速在一固定平面内绕一端O转动.当直线位于Ox的位置时,有一质点P开始从O点沿该直线运动.如欲使此点的绝对速度v的量值为常数,问此点应按何种规律沿此直线运动?解:这是一个平面转动.如图坐标系222rrvjrirrrvtvrvrttrvrrvrtrtrsinsin1dddd1002222oxxxxP4.6)一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动,管中有一质量为m的质点.开始时,细管取水平方向,质点距转动轴的距离为a,质点相对于管的速度为v0.试求质点相对于管的运动规律.mgNFCm2r解:这是一个平面转动.如图坐标系,受力分析,重力mg,约束反力N,惯性离心力m2r,科里奥利力FC=2m×v约束反力和科里奥利力垂直于管轴线方向tgrrtmgrmrmsinsin22对应齐次方程02rr通解为ttececr21观察得,非齐次的特解为tgsin22故方程通解为tgececrttsin2221在t=0时,2210212,gccvrcca这样可以定出c1和c2的值,从而得到解4.10)质量为m的小环M,套在半径为a的光滑圆圈上,并可沿着圆圈滑动.如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点O转动,试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程.解:设坐标系如图,oxy为水平面,它绕z轴转动,即圆圈为转动参照系受力分析,重力和约束反力都在z轴方向,没有画出.惯性离心力m2r,科里奥利力为FC=-2m×vvmrmFam22本题要求沿圆切线运动,用自然坐标内禀方程sin2sin2cos22sindd222amamrmtvmmatvmddand0sin2最后得xy),(yxMtOao4.12)一质点如以初速v0在纬度为的地方竖直向上射出,达到h高度复落至地面.假定空气阻力可以忽略不计,试求落至地面时的偏差.解:设地球为转动坐标系,在北纬处,由地心指向为单位矢量k指向,j表示东,i为南.地球自转角速度为绕地轴匀速转动状态cos2sincos2sin2ymmgzmxzmymymxm321cos2sincos2sin2CygtzCxzyCyx在t=0,0,,00zyxvzyxcos2sincos2sin20ygtvzxzyyx将这个结果反代入第一式,忽略2项.化简,得gzvgtyxcos2cos200再进行积分,并代入初始条件得:gtvztvgtyx002cos2cos0再积分,并代入初始条件得:2020321coscos310gttvztvgtyx质点再回到地面gvt/20cos34230gvyghv2and0cos8343ghy