73普朗克辐射公式和能量子假说

7.3.普朗克辐射公式和能量子假说黑体辐射辐出度r0(,)等于普适函数,因此要解释实验得出的黑体辐射能量曲线,归根结底就是确定普适函数的形式.然而,所有想从经典理论中得出这一函数的正确形式的尝试都遭到了失败.(1)维恩公式和瑞利-金斯公式维恩假设分子辐射频率与分子热运动动能成正比.因此按频率的能量分布与按速度的麦克斯韦分布类似,由此得出光谱分布函数的解析式：.),(22310TCecCTr维恩公式与实验曲线在短波部分相符,但在长波部分与实验曲线偏离.瑞利-金斯提出,在达到热平衡的空腔内,电磁辐射场是具有不同频率和不同传播方向的驻波系统.其中每一种驻波是辐射场中的一种波型,或称模式.都代表辐射场中的一个稳定的状态.因此可以称为本征振动的方式或本征模.曲线可以算出,腔内在-+d频率范围内,本征模数为,832dc瑞利根据热力学中能量均分定理,认为每一本征振动的动能和势能各占KT/2.因此在-+d频率范围内的能量为,8),(32kTdcdT式中为黑体腔内的能量密度，K为玻耳兹曼常数．可以证明).,(4),(0TrcT因此有.2),(220kTcTr证明上式为瑞利-金斯公式.它在波长相当长时,才与实验曲线相符,随着波长的减小辐射能量无限大.这就是物理学发展史上所谓的紫外灾难．曲线普朗克(MaxKarlErnstLudwigPlanck,1858―1947)德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人。普朗克的伟大成就，就是创立了量子理论，1900年12月14日他在德国物理学会上，宣读了以《关于正常光谱中能量分布定律的理论》为题的论文，提出了能量的量子化假设，并导出了黑体辐射的能量分布公式。这是物理学史上的一次巨大变革。从此结束了经典物理学一统天下的局面。劳厄称这一天为“量子论的诞生日”。1918年普朗克由于创立了量子理论而获得了诺贝尔奖金。(2)普朗克能量子假说普朗克假说:黑体是由带电的线性谐振子所组成,这些谐振子能量不能连续变化,只能取一些分立的值,这些分立值的是最小能量0的整数倍,即0,0,20,30,…,n0,…,称为谐振子的能级.最小能量h0式中,10626.634sJh称为普朗克常数.上面这个假说,叫做普朗克能量子假说,它与经典理论能量是连续的理论相矛盾.以这个假说为前提,根据热力学定律,普朗克得出黑体辐射公式(普朗克公式):.112),(230kThechTr这个公式与实验曲线符合得很好,在短波和长波两种极限的情况下能过度到维恩公式和瑞利-金斯公式.并且由普朗克公式可以导出维恩位移定律和斯特潘-玻耳兹曼定律.推导曲线)(TM实验瑞利-琼斯T=1646k瑞利-琼斯普朗克理论值说明•普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题，还解释了固体的比热问题等。它成为现代理论的重要组成部分。•从普朗克公式可导出斯特藩-玻耳兹曼定律，维恩公式，瑞利—金斯公式维恩位移定律40TdTM斯特藩-玻耳兹曼定律维恩公式瑞利—金斯公式00)(dTdM普朗克假说意义普朗克抛弃了经典物理中的能量可连续变化的旧观点，提出了能量子、物体辐射或吸收能量只能一份一份地按不连续的方式进行的新观点。这不仅成功地解决了热辐射中的难题，而且开创物理学研究新局面，标志着人类对自然规律的认识已经从从宏观领域进入微观领域，为量子力学的诞生奠定了基础。普朗克公式发表于1900年12月14日,这一天,被人们看作为量子论诞生日.作用量子h是最基本的自然界常数之一,体现了微观世界的基本特征,它既是支配电磁场与物质相互作用的基本量,又是表征原子结构的重要参数,是物质世界中的一个重要角色.由于普朗克常数h的出现,导致了物理学的一场巨大的革命.“这一发现成为20世纪整个物理学研究的基础,从那时候起,几乎完全决定了物理学的发展.要是没有这一发现,那就不可能建立原子、分子以及支配它们变化的能量过程的有用理论.而且,它还粉碎了古典力学和电动力学的整个框架,并给科学提出了一项新的任务:为全部物理学找出一个新的概念基础.”爱因斯坦在1948年4月悼念普朗克的会上,充分肯定了普朗克常数发现的重大意义：1918年诺贝尔物理学奖获得者——普朗克（MaxKarlErnstLudwigPlanck）德国人1858—1947发现能量子叶企孙（1898—1977）中国科学院学部委员（常务）（1955）用X射线方法测定普朗克常量，在国际上沿用了16年清华大学首任物理系主任（1926）、首任理学院院长（1929）设黑体腔内是稳定的驻波场,是具有不同频率、不同传播方向的驻波系统.在腔壁上电场形成波节,磁场形成波腹.每一驻波代表一种振动模式.xyz以长方形腔为例.腔内某一驻波的波矢为:,2222zyxkkkkK,cos2xk,cos2yk,cos2zk推导普朗克黑体辐射公式1L2L3L产生驻波的条件为:,cos211Lm,cos222Lm.cos233Lm,2,1,0,,321mmm波矢又可以表示为:,11Lmkx,22Lmky.33Lmkz,2/22cck23322221122)()()(LmLmLmk因此有.)()()(22233222211LmLmLmckc一组3,2,1mmm对应一种模式.不同的频率应有不同的模式,相同的频率,因k方向不同,也会有不同的模式.一组对应一个波矢,对应波矢三维空间中的一个点.3,2,1mmmxkykzk1L2L3L22L波矢三维空间中的一任意点,其坐标为),,(332211LmLmLm不同的形成三3,2,1mmm维空间点阵,8个格点形成一个长方体元,每个格点又属于8个长方体元.因此,每一格点对应一个长方体元,有n个格点，对应n个长方体元,就有n个振动模式.注意:驻波波矢有限制.频率从0～范围内,有多少个这动模式?由22222)2(zyxkkkck可知振动波矢数,即是半径为2/c的球体内体元数.因m1、m2、m3为正整数，故对应1/8球体内的体元数：,34)2(34813343ccV球（1/8球体的体积为c.）体元的体积:.3321VLLLV元V=L1L2L3为谐振腔的体积.体元数:,3433VcVV元球考虑到两个偏振态:.3833VcN将上式两边除以V并对微分,得单位体积频率在～d范围内的本征模数.,832dcdn普朗克认为,黑体腔器壁是不同频率的线性谐振子,由能量子假说,这些谐振子取分立的值,,0h,0m按照玻耳兹曼定理,具有能量的振动几率有如下关系:0003,2,,0kTkTkTeee03020:::1所以,平均能量为.110000000kThkTmmeheeemkTmkTm壁上振子分布应与驻波分布相同,因此单位体积内频率范围在~d内的能量密度为.118)(33kThechd黑体单色辐出度为),(4),(0TcTr.11223kThech返回证明：d热辐射以光速c向各个方向辐射，因此，在任意一方向上的立体角d内，频率为的辐出度为,cos),(4),(0dTcTdr在小孔外２立体角空间内总辐射能量为ddTcTrsincos),(41),(20200),(4Tc二证明关系式).,(4),(0TcTr单位面积小孔黑体空腔维恩线瑞利-金斯线0r紫外灾难实验曲线