2014-2017高考真题-选修4-4--坐标系与参数方程

选修4-4坐标系与参数方程考点坐标系与参数方程1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B.214C.2D.221.D[由x＝t＋1，y＝t－3消去t得x－y－4＝0，C：ρ＝4cosθ⇒ρ2＝4ρcosθ,∴C：x2＋y2＝4x,即(x－2)2＋y2＝4,∴C(2，0),r＝2.∴点C到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r2－d2＝22.故选D.]2.(2014·北京，3)曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心()A.在直线y＝2x上B.在直线y＝－2x上C.在直线y＝x－1上D.在直线y＝x＋1上2.B[曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y＝－2x上,故选B.]3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π43.A[∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝1cosθ＋sinθ.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]4.（2017•北京,11）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为________．4.1设圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0，再化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：|AP|min=|CP|﹣rC=2﹣1=1，故答案为：1．5.（2017·天津,11）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________．5.2直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，化为：2x+2y+1=0．圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．6.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.6.2[直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0,圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x,即(x－1)2＋y2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r＝1.点(1，0)在直线x－3y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.]7.(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，则点A到直线l的距离为________.7.522[依题已知直线l：2ρsinθ－π4＝2和点A22，7π4可化为l：x-y+1＝0和A(2,-2)，所以点A到直线l的距离为d＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]8.(2015·北京，11)在极坐标系中，点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离为________.8.1[在平面直角坐标系下,点2，π3化为(1,3),直线方程为：x＋3y＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]9.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值是________.9.6[由ρ＝8sinθ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝π3得y＝3x，即3x－y＝0，∴圆心(0,4)到直线y＝3x的距离为2,圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]10.(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝1＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________.10.(2,π)[直线l的直角坐标方程为y＝x＋2,由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4,直角坐标方程为x2－y2＝4,把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]11.（2017•新课标Ⅰ,22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（10分）(1)若a=﹣1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．11.（1）解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为标准方程是：+y2=1；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣，）．（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d==，φ满足tanφ=，又d的最大值dmax=，所以|5sin（θ+φ）﹣a﹣4|的最大值为17，得：5﹣a﹣4=17或﹣5﹣a﹣4=﹣17，即a=﹣16或a=8．12.（2017•新课标Ⅱ,22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．12.解：（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为：x=4，设P（x，y），M（4，y0），则，∴y0=，∵|OM||OP|=16，∴=16，即（x2+y2）（1+）=16，整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），∴点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．（Ⅱ）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|=2，∴曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d==，∴△AOB的最大面积S=|OA|•（2+）=2+．13.（2017•新课标Ⅲ,22）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）写出C的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．13.（Ⅰ）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；（Ⅱ）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，∴其普通方程为：x+y﹣=0，联立得：，∴ρ2=x2+y2=+=5．∴l3与C的交点M的极径为ρ=．14.（2017•江苏,21C）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．14.直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．15.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.15.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2,C1是以(0，1)为圆心,a为半径的圆.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2＝0,由已知tanθ＝2,可得16cos2θ-8sinθcosθ＝0，从而1-a2＝0，解得a＝-1(舍去)，a＝1.a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.16.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数),l与C交于A、B两点,|AB|＝10,求l的斜率.16.解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以l的斜率为153或－153.17.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.17.解(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.18.(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径.18.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.19.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy中,直线C1：x＝－2,圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.19.解(1)因为x＝ρcosθ，