西南民族大学信号与系统2

1第二章连续信号与系统的时域分析Time-DomainAnalysisofContinuous-TimeSignals2第2章连续信号与系统的时域分析2-1线性时不变系统的描述及特点2-2连续时间LTI系统的响应2-3连续系统的冲激响应与阶跃响应2-4连续系统时域卷积积分分析法综合练习习题32-1线性时不变系统的描述及特点duLtRtutdttduCtLRCiii1,,TheconstitutiverelationsforeachelementyieldtLLLLLduLitidttdiLtu0)(1)0()()()(tcccccdiCutudttduCti0)(1)0()()()(4i1(t)i2(t)dtdfiCiCdtdiRdtdiL12111221111dtdfiCdtdiRdtdiLiC22222222111)()(1)(11211111tfdiCdiCdtdiLiRtt)()(1)(12222221tfdiCiRdtdiLdiCtt一、线性时不变系统的描述及特点例2-1：P405线性时不变系统的描述及特点•连续时间系统用N阶常系数微分方程描述)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnnai、bi为常数。6二、微分方程的微分算子表示式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如：tdftfppoperatorIntegral)()(11:　　　　dttdftpfdtdpoperatoralDifferenti)()(:　　　　　　)(:)(1int)(:pHoperatortranferpDopteratoregraldgeneralizepNoperatoraldifferentidgeneralize　7性质1：以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。)()2)(2()()4()()65()()3)(2(22tfpptfptypptypp性质2：设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则)()()()()()(tfpApBtfpBpA性质3：微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如：)()(tpftpy不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。正确的结果为ctfty)()(10性质4：11例2：已知系统方程为)(4)('2)(3)('5)(tftftytyty则系统的算子方程)()24()()35(2tfptypp于是，得到系统的转移算子为3524)(2ppppH12用H(p)表示的系统输入输出模型H(p)f(t)y(t)1312321)2432()12(fpppppppi223)2432(fppppp)2432()12()(2321111pppppppfipH)2432()(232112pppppfipH1212pfii)1pp(2221)12(pfippi电路参数如图所示，则整理算子方程为可得142-1连续时间LTI系统的响应经典时域分析方法算子法卷积法15一、经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yo(t)和特解yd(t)组成)()()(tytytydo齐次解yo(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yd(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定16齐次解yo(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,,sntsntstsoneKeKeKty2121)((2)特征根是等实根s1=s2==sntsnntstsoetKteKeKty121)((3)特征根是成对共轭复根)sincos()sincos()(11111tKtKetKtKetyiiiittoi2/,nijsiii例3已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttftytyty08624221，ttoBeAety42)(——特征根为齐次解yo(t)解：(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yo(t)特征方程为2)求非齐次方程y’’(t)+6y’(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yd(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解tttdoeBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0('BAy0,3161125)(42teeetyttt191）求系统数学模型；2）求齐次方程通解y0(t)；3）求非齐次方程特解yd(t)；4）写出非齐次方程通解y(t)=y0(t)+yd(t)：5）根据初始值求待定系数；6）写出给定条件下非齐次方程解。经典法基本步骤20经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。例3：已知某系统激励为零，初始值y(0+)=2，y’(0+)=1，y”(0+)=0，描述系统的传输算子为求系统的齐次解y(t)。22)3)(1(382)(pppppH解：0)3p)(1p()p(D2系统齐次解为11332t33t32t10teKeKeK)t(y210KK)0(y3210KK3K)0(y3210K6K9K)0(y=2=1=05K,4K,6K3210tte5e4e6)t(yt3t3t0例3：图示电路，已知：i1(0+)=2A，i’1(0+)=1A/s；求i1(t)、i2(t)和i3(t)。解：23K,27K21由算子电路，有0i)t(i)p2(210i)p2()t(i2100)t(i)t(ip211p221p211p2z03p2pZ211p32pt32t11eKeK)t(i211KK)0(i211K3K)0(i210tA)e23e27()t(it3t10tA)e23e27()t(it3t223线性微分方程的物理解1.零输入响应)()()()(tfpNtypDnitixxiectytfty1)(0)()(出特征根　　　根据特征方程求由初始条件nncccyyy，求出，,211',),0(),0(),0(LinearDifferentialEquationsPhysicalSolution2.零状态响应注：两种解法的区别，初始条件代入的先后次序不同3.全响应24零输入响应算子方程01110111)()()(apapapbpbpbpbpDpNpHnnnmmmmy(t)和f(t)满足的算子方程为)()()()(tfpNtypDyx(t)满足的算子方程为0)()(typDx0t设系统响应y(t)对输入f(t)的转移算子为H(p)，且25系统的零输入响应一阶系统若D(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt。此时系统特征方程D(p)=0仅有一个特征根p=λ。0])([0)()('0)()(txxxxetydtdtytytypc0=yx(0-)，其值由初始条件yx(0-)确定。结论为：ttxxeceyty0)0()(含义是：D(p)=p-λ对应的零输入响应yx(t)为c0eλt。简单系统2若0)())((21typpx))(()(21pppD可得：0)()(0)()(2211typtypxx求解可到：0)(0)(0)(2121212211teCeCtyteCtyteCtyttxtxtx若：txetccty)()(100ttrrxretctctcctyppD)()()()(112210212)()(则ppD求解可得：N重根：29一般系统的零输入响应对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程D(p)=0具有l个不同的特征根λi(i=1,2,…,l)，且λi是ri阶重根，那么，D(p)可以因式分解为liriippD1)()(式中，r1+r2+…+rl=n0)()(0)()(typDtypxixiriili,,2,1li,,2,1根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,….,l,将相应方程求和，便得0])()[(1lixitypD所以方程D(p)yx(t)=0lixixtyty1)()(liriippD1)()(第一步，将D（p）进行因式分解，即综上所述，对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是：第二步，求出第i个根对应的零输入响应yxi(t)itririiiixiiietctctccty][)(1)1(2210li,....,2,1第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输入响应，即lixixtyty1)()(0t第四步，根据给定的初始条件确定常数).,,2,1(,1,,)1(10liccciriii)1,,1,0)(0()(njyjx例某系统输入输出微分算子方程为)()3()()2)(1(2tfptypp已知系统的初始条件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。解D(p)=(p+1)(p+2)2txtxetcctypectyp2212022101)()()2()()1(ttxxxetccectytyty221201021)()()()(其一阶和二阶导函数为ttttttxttttttxecectececctecectyecectecetccececty220221102202122110220221102212022110'4)1(4]2)21[(22)(2)21()(2)(代入初始条件值并整理得1344)0(62)0(3)0(202110202110'2010cccycccyccyxxx联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。最后求得系统的零输入响应为ttxetety2)2()(0t35连续系统的零状态响应连续信号的δ(t)分解任一连续信号f(t)与单位冲激信号δ(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即dtfttftf)()()()()(36任意信号的分解：矩形分解)1()()(ktUktUkftfk时当0dtftf)()()()()(ttf37单位冲激响应系统)(t)(th零状态2-3连续系统阶跃响应与冲激响应激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。单位阶跃响应激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.)()()(tkftydttdy)()()(