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1一、力矩的功如图，刚体受力F，(F在垂直于转轴的平面内).设dt内刚体角位移dθ，MFKϕOrK+θdds§4-4刚体定轴转动的动能定理TheTheoremofKineticEnergyofaRigidBodyRotatingaboutaFixedAxissindAFdsFrdτϕθ==⋅Mdθ=当θ由θ1→θ2，力矩的功∫∫==21θθθMddAA功2二、刚体的转动动能2221122kiiiiiEmvmrω=Δ=Δ2221122kkiiiEEmrJωω==Δ=∑∑三、刚体定轴转动的动能定理当θ由θ1→θ2，ω由ω1→ω2，合外力矩所做总功为总转动动能对转动质元Δmi：ddAMdJdJdJddtωθαθθωω====32211AdAMdJdθωθωθωω===∫∫∫2221211122kkJJEEωω=−=−2122211122MdJJθθθωω=−∫刚体定轴转动的动能定理合外力矩的功等于刚体转动动能的增量.4ΔmimCvKC对任一质元Δmi，其势能EPi=Δmigyi，五、刚体的重力势能piiPiEEmgy==Δ∑∑iimymgmΔ=∑cmgy=OXYZCyiy四、刚体的平动动能2211122nkiiiEmvmv==Δ=∑平对整个刚体c221122CCEmghmvJω=++机械500cossin22AMdmglmgldθθθθθθ===∫∫例：细杆质量为m，长为l，绕过一端的轴自由旋转，设杆自水平静止释放。求：杆位于任意角θ时的ω、α。θαGZmgNYXOrK解法1：用转动定理求，在上一讲例题中。解法2：用刚体定轴转动的动能定理求。重力矩的功2102KEJωΔ=−刚体动能增量621sin22mglJθω∴=θωsin3lg=2211()23mlω=)(ωθ=dtd3cos2dgdtlωαθ==求全微分:23singlωθ=对32cosdgddtldtωθωθ=7解法3：用机械能守恒求解。研究对象：棒与地组成的系统。在转动过程中，只有保守内力（重力）做功。21sin22lEJmgωθ=−θωsin3lg=水平状态时的机械能：E=0θ角时的机械能：由机械能守恒可求得再求导即可得α.θβKZmgNYXOrK8两边积分得设t1→t2内，角速度由ω1→ω2，一、刚体定轴转动的角动量定理MdtdL=Fdt→冲量Mdt→冲量矩类比§4-5定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律TheTheoremofAngularMomentumandtheLawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingaboutaFixedAxisddLMJJdtdtωα===MdtdL=22112121tLtLMdtdLLLJJωω==−=−∫∫92121ttMdtJJωω=−∫刚体所的受冲量矩等于刚体角动量的增量.●冲量矩是引起刚体角动量改变的原因。对一个系统：刚体定轴转动的角动量定理iiMMLL→→∑∑外dtLdMii∑∑=外则iiMdtdL=∑∑外10二、刚体的角动量守恒定律iiiiMdtdLdJω==∑∑∑外0,iM=∑外当iiiLLJω===∑∑则恒量角动量守恒定律讨论0MJCω=⇒=1.对单个刚体：0iiMLC=⇒=∑∑外2.对刚体系统：1102201122JJJJωωωω+=+例如：3.角动量守恒定律对非刚体也成立。11守恒定律对非刚体的一般情况：A.J不变，ω也不变，保持匀速转动。B.J变化，但Jω不变，则ω要发生改变。FωKωKFC.开始整体不动，当其一部分旋转时，必引起另一部分朝反方向旋转。ωK'ωK12实际中的一些现象13应用程序又如，茹可夫斯基凳、陀螺仪等。1412lLmv=2LJω=例：杆质量M，长l，绕中点转动，开始时竖直静止。子弹m以水平初速v射入下端，问ω=？解：碰撞前角动量碰撞后角动量221()212mMlJJJmMl=+=+ωmvMO合外力矩为零，由角动量守恒得lMmmv)3(6+=ω15问题：1.碰撞过程中，水平动量是否守恒？为什么？011==MmPmvP碰撞前水平动量碰撞后水平动量mvMmmMmvmlmPm3/33)2(22+=+==ω02=MP21mmPP（杆的质心无运动）●碰撞后系统水平动量减少。因为轴对杆有一作用力（冲力）。2.碰撞过程中，机械能是否守恒？答：不守恒！因为是完全非弹性碰撞。ωmvMO1610mvlJω=棒2213JmL=棒1m2mLl例：已知匀质杆m2，L；轻绳长l，连接小球m1，初始时杆静止，将球拉开一定角度，使球与杆作完全弹性碰撞。试设计l长度，使碰后球刚好停住。解：设碰撞前球速为v0，碰后杆角速度为ω，过程角动量守恒22101122mvJω=棒机械能守恒17221213mlJmL==棒22222102210JmvlmvJωω=棒棒Lmml123=1mv2m静止对比1m2mLl静止121mmm=当，停121mmJJm=当，停刚体弹性碰撞质点弹性碰撞碰撞后交换动量碰撞后交换角动量18例：质量M、半径R的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？解：以M、m为系统0M=∑外故角动量守恒。以地面为参照，建立轴的正方向如图。+MXm因人和台原来都静止，所以190JJωω+=人台02122=+台人ωωMRmR2Mmωω=−人台∫∫−=ttdtmMdt002台人ωω+M台ωKX人ωKm2Mmθθ=−人台2θθπ+=人台mMm+=πθ4台mMM+=πθ2人202113Jml=例：细棒m1、l，静止放在摩擦系数为μ的水平桌面上，可绕O点旋转，小球以水平速率v1直击另一端，并以v2反向弹回，求：1.碰后棒的角速度；2.棒从开始转动到停止所需时间。1m2mlO1vG2vG解：1.碰撞过程中角动量守恒（向外为转轴正向）2122mvlmvlJω=−+lmvvm1212)(3+=ω2112rlMmgμ=−210103trMdtJmlωω=−=−∫gmvvmt12122μ+=解得1m2mlO1vG2vG2.设摩擦力矩为Mr，对棒用角动量定理而摩擦力矩（相当于m1集中于l/2处）221mdmdxl=10lrrmMdMgxdxlμ==−∫∫1mlOdmxxdfdMr⋅=dmgdfμ−=摩擦力矩的证明在x处取dm：元摩擦力元摩擦力矩总摩擦力矩21122mgllmglμμ=−=−23J转动惯量比记忆一维运动与刚体转动类m质量rG位置矢量vG速度aG加速度θ角位置ωG角速度αG角加速度FG质点受力FrMGGG×=受力矩AFds=⋅∫GG力做功21AMdθθθ=∫力矩做功212mv平动动能212Jω转动动能24比记忆一维运动与刚体转动类vmPGG=动量LJω=GG角动量∫=21ttdtFIGG冲量∫21ttdtMG冲量矩amFGG=牛顿定律MIα=GG转动定律动能定理转动动能定理22211122AMdJJθωω==−∫动量定理1221vmvmdtFttGGG−=∫角动量定理2121ttMdtJJωω=−∫22211122AFdsmvmvτ==−∫25进动（旋进）Precession一、什么叫进动陀螺的运动进动演示仪的运动OZGBCC'OZFV应用程序26OZmgXYZOdtMLdKK=LdLKG+rKdϕ受重力的力矩gmrMKKK×=以陀螺为例，陀螺绕其对称轴旋转时的角动量LJω=KG'ωKMGLdK二、进动的解释LK27由图：考虑方向：dtMLdKK='MJωω=×KKKsinMJωωθ′=dLMdt=(sin)dLLdθϕ=dtLωθ′=sinsinJdtωωθ′=mgXYZOLdLKG+θdϕMGLdGrGω′GLdL⊥LdLL+=GGG但dt后L方向改变所以L端点作圆周运动。281）旋进角速度的大小2）旋进的角速度的方向满足LdLKG+LGdϕMGω′GLdK'MJωω∴=×KKK'/MJωω=↓↑→',,'ωωωω反比于正比于M结论：'MJωω=×KKK29三、旋进的应用举例为了保证子弹、炮弹不至如此，常在炮筒内加来复线，以使其旋转，由于进动作用，即可使其沿质心前进的方向运动而保证弹头朝前。1-15甩手榴弹B.exe子弹、炮弹等在飞行时受阻力矩作用易在空中翻转。fKωKCvG'ωKCfMKLK30还可用电子在磁场中的进动解释物质的磁化等。B31解：例：一木杆长l，可绕光滑端轴旋转。设这时有一质量为m的子弹以水平速度v射入杆的另一端并嵌入杆内，求杆偏转的角度。过程中N和mg的冲量矩可忽略。射入前、后系统角动量守恒。mvKOLωK2221()3LJMlmlωω==+子弹射入后系统的角动量子弹射入前系统的角动量mlvL=132(/3)mvMmlω=+ω)31(22mlMlmlv+=依角动量守恒定理有MθM+以M、m、地球为系统，以杆下端为势能零点初态机械能21122lEJMgω=+33末态机械能)cos1(θ−+mgl机械能守恒12EE=21cos()JMmglωθ−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−=glmMmMvm)2)(3(31arccos22θMθM+20(cos)2lEMglθ=+−34下次课交练习三作业。请写清楚专业、班级、姓名、序号。