随机型存贮模型

随机型存贮模型一、简单单周期模型（报童模型）二、有初始库存量的单周期模型单周期存贮模型：指在周期开始时订货一次，本周期不再订货。随机性存贮模型，以总费用的期望值作为衡量存贮策略优劣的标准。一、简单单周期模型（报童模型）报童问题:报童每天销售报纸的数量是一个随机变量，根据以往的经验，已知，需求量r份报纸的概率P(r)，报童每售出一份报纸赚k元，如果报纸未能售出，每份赔h元，问报童每日最好准备多少份报纸?需要解决最优订货量Q的问题。如果订货量Q过大，报童就会因不能售出报纸造成损失；如果订货量Q过小，报童就要因缺货失去销售机会而造成机会损失。如何适当地选择订货量Q，才能使这两种损失的期望值之和最小呢?设订购量为Q，如果Qr，则损失h(Q－r)元；如果Qr,则缺货造成的机会损失k(r－Q)元，于是总损失的期望值为：𝐶(𝑄)=ℎ𝑄−𝑟𝑃(𝑟)+𝑘𝑟−𝑄𝑃(𝑟)∞𝑟=𝑄+1𝑄𝑟=0将使得C(Q)达到最小的Q值作为最佳的订购量，因r是离散的随机变量，我们用边际分析法求解，最佳订购量Q应满足𝐶(𝑄)≤𝐶𝑄+1𝐶(𝑄)≤𝐶(𝑄−1)化简、整理得：𝑃(𝑟)𝑄−1𝑟=0≤𝑘𝑘+ℎ≤𝑃(𝑟)𝑄𝑟=0则最佳订购量Q按此公式确定。例：某报亭出售某种报纸，每售出一百张可获利15元，如果当天不能售出，每一百张赔20元，每日售出该报纸份数的概率𝑃(𝑟)根据以往经验如下表所示，试问报亭每日订购多少张该种报纸能使其赚钱的期望值最大？销售量（百张）5678910110.050.100.200.200.250.150.05解：要使其赚钱的期望值最大，也就是使其因售不出报纸的损失和因缺货失去销售机会的损失的期望值之和为最小，已知：𝑘=15,ℎ=20,则有：𝑘𝑘+ℎ=1515+20=0.4286故当𝑄=8时，有𝑃(𝑟)7𝑟=0=𝑃(5)+𝑃(6)+𝑃(7)=0.05+0.10+0.20=0.35𝑃(𝑟)8𝑟=0=𝑃(5)+𝑃(6)+𝑃(7)+𝑃(8)=0.05+0.10+0.20+0.20=0.55满足不等式𝑃(𝑟)7𝑟=0𝑘𝑘+ℎ≤𝑃(𝑟)8𝑟=0因此，最优的订报量为每天800张，此时其赚钱的期望值最大。如果需求量r是连续的随机变量，𝜑(𝑟)为其概率密度。则最佳订购量Q按式𝜑𝑟𝑑𝑟=𝑘𝑘+ℎ𝑄0确定。如本书中例7-8二、有初始库存量的单周期模型设初始库存量为𝐼，需求量𝑟是离散型随机变量，可能的取值是𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑛(𝑟𝑖𝑟𝑖+1,𝑖=1,2,⋯,𝑛−1),𝑟𝑖的分布律已知，在周期开始就要确定本周期是否订货，设𝑠是订货点，若𝐼𝑠，则不订货，若𝐼≤𝑠，则需要订货，并将库存量补充到𝑆，订购量为𝑄=𝑆−𝐼，再设𝐾为货物单价，𝐶1为单位货物本周期的存贮费，𝐶2为本周期缺货一个单位的损失费，𝐶3为订购手续费，需求和订货都发生在周期初，库存补充过程极短，我们的目的是选择𝑠,𝑆，使总费用的期望值最小。两个任务：1、确定存贮上限S2、确定订货点s需求量𝑟是𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑛中的一个，为便于讨论，先不考虑𝑠，即假定每期初不管𝐼为多少，都把存贮补充到𝑆水平，这样每期的最大存贮量均为𝑆。由于仅当需求量𝑟≤𝑆时，剩余𝑆−𝑟数量的存贮才有存贮费，否则无存贮费，所以一个周期𝑡内的存贮费期望值为：𝐶𝐶1=𝐶1𝑆−𝑟𝑃(𝑟)𝑟≤𝑆又因仅当𝑟𝑆时才有缺货量𝑟−𝑆,否则不缺货，故𝑡内的缺货费期望值为：𝐶𝐶2=𝐶2𝑟−𝑆𝑃(𝑟)𝑟𝑆因此𝑡内的总费用的期望值为：𝑪(𝑺)=𝑪𝟑+𝑲(𝑺−𝑰)+𝑪𝟏𝑺−𝒓𝑷(𝒓)𝒓≤𝑺+𝑪𝟐𝒓−𝑺𝑷(𝒓)𝒓𝑺1、确定存贮上限S设𝑆∗为最优存贮上限，即有𝐶(𝑆∗)=min𝑆𝐶(𝑆)则𝐶(𝑆∗)≤𝐶(𝑆∗+1)𝐶(𝑆∗)≤𝐶(𝑆∗−1)将总费用的期望值代入上式，化简、整理得：𝑃(𝑟)𝑟≤𝑆∗−1≤𝐶2−𝐾𝐶1+𝐶2≤𝑃(𝑟)𝑟≤𝑆∗令𝑁=𝐶2−𝐾𝐶1+𝐶2，故𝑆∗是使下式成立的最小𝑆值：𝐶(𝑆)=𝑃(𝑟)≥𝑁𝑟≤𝑆因此，可由此计算𝑆=𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑛时的累计概率，当首次出现能使上式成立的𝑆=𝑟𝑖时，则这个𝑟𝑖即为𝑆∗上面确定的𝑆∗及相应策略，是不论初始存贮量𝐼为多少，都将存贮水平补充到𝑆∗水平，但这种策略不一定最优，因为当𝐼在某一存贮水平𝑠以上时，尽管𝐼𝑆∗,也许不订货的期望费用小于订货的期望费用。则不订货的期望费用为：𝐶(𝑠)=𝐶1𝐼−𝑟𝑃(𝑟)𝑟≤𝐼+𝐶2𝑟−𝐼𝑃(𝑟)𝑟𝐼其中，𝐼满足：𝑠≤𝐼𝑆∗由于𝐶(𝑠)中无订购费，又因𝐼𝑆∗，故其存贮费也比𝐶(𝑆∗)少，因此，若𝐶(𝑠)≤𝐶(𝑆∗)即期初“不订货”的决策优于“订货”的决策。2、确定订货点s现要确定一个值𝑠,使得当𝐼≥𝑠时，有𝐶(𝑠)≤𝐶(𝑆∗)，从而“不订货”当𝐼𝑠时，有𝐶(𝑠)𝐶(𝑆∗)，从而“订货”显然，𝑠为𝐼值关于两个互逆决策“订货”与“不订货”的转折点，称𝑠为期初存贮状态𝐼的临界点，于是问题归结为寻求s，使得𝐶(𝑠)≤𝐶(𝑆∗)令𝑠分别取值为𝑟1,𝑟2,…,𝑟𝑛，按由小到大的顺序代入𝐶(𝑠)中，第一个满足𝐶(𝑠)≤𝐶(𝑆∗)的𝑟𝑖为𝑠∗。例：某工厂生产某种部件，该部件外购价为850元/件，订货手续费每次2825元，若自产，则每件成本1250元，单件存贮费45元，该部件需求概率见下表：在选择外购策略时，若订购数少于实际需求量，则工厂将自产差额部分，假定初期存货为零，求工厂的订购策略。80901001101200.10.20.30.30.1解：由题意知，𝐾=850元/件，𝐶1=45元/件，𝐶3=2825元，𝐼=0，将自产成本看作缺货损失费，则𝐶2=1250元/件，计算临界值𝑁=𝐶2−𝐾𝐶1+𝐶2=1250−85045+1250=0.3089由于𝑃(𝑟)𝑟≤90=0.3，𝑃(𝑟)=0.6𝑟≤100所以𝑆∗=100再计算得：𝐶(𝑆∗)=𝐶(100)=2825+850×100+45×[(100−80)×0.1+(100−90)×0.2]+1250[(110−100)×0.3+(120−100)×0.1]=94255𝐶80=850×80+1250×[(90-80)×0.2+(100-80)×0.3+(110-80)×0.3+(120-80)×0.1]=94250𝐶(80)≤𝐶(100)成立，故取𝑠=80，即初始库存水平低于或等于80件时，需要进货补充，进货量𝑄=𝑆∗−𝐼=100件。对于随机性存贮问题，本书只介绍了一次性进货模型，另外还有多周期存贮模型、带有滞后时间的存贮模型等，大家可以参考韩伯棠教授编写的《管理运筹学》书本，学习相关的知识。