随机解释变量

计量经济学Econometrics主讲人：黄雷随机解释变量RandomIndependentVariable一、随机解释变量问题二、随机解释变量的后果三、工具变量法一、随机解释变量问题这一假设实际是要求：或者X是确定性变量，不是随机变量；或是X解释变量虽是随机变量，但与随机误差项不相关。违背这一假设设的问题被称为随机解释变量问题。单方程线性计量经济学模型假设之一是：Cov(Xi,i)=0即解释变量与随机项不相关。1、随机解释变量问题2、随机解释变量问题的3种情况对于模型Yi=0+1X1i+2X2i++kXki+ii=1,2,…,n(2.7.1)假设(2.7.1)中X2为随机解释变量。对于随机解释变量问题，又分三种不同情况：（1）随机解释变量与随机误差项不相关即E（X2）=0(2.7.2)（2）随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，在大样本下渐近无关，即在小样本下E（X2）0在大样本下Plim（X2ii/n）=0（2.7.3)或：P(lim(X2ii/n)=0)=1（3）随机解释变量与随机误差项高度相关，且Plim（X2ii/n）0（2.7.4)变量的类型1.数值变量：–内生变量：由经济系统本身决定的变量，系统运行，变量也随之变化。–外生变量：由经济系统以外的因素决定的变量，系统运行不对其产生影响。例如：Yi=0+1Pi+2Si+3Ci+iSi=α0+α1Pi+α2Yi+α3Ci+νi其中：Y、S为内生变量；P、C为外生变量。2.质量变量：–虚拟变量：如政策、罢工、战争及自然灾害等，也会影响经济活动的变化。3、实际经济问题中的随机解释变量问题在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。但是在单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的。于是随机解释变量问题主要表现于用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。例如：（1）耐用品存量调整模型：耐用品的存量Qt由前一个时期的存量Qt-1和当期收入It共同决定：Qt=0+1It+2Qt-1+tt=1,T这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量Qt-1只与t-1相关，与t不相关，属于上述的第1种情况。（2）合理预期的消费函数模型合理预期理论认为消费是由对收入的预期所决定的，或者说消费是有计划的，而这个计划是根据对收入的预期制定的。于是有：tettYC1011101tettYC其中etY表示t期收入预期值。而预期收入与实际收入之间存在差距，表现为：ettetYYY1)1(ll该式是由合理预期理论给出的。在该模型中，作为解释变量的Ct-1不仅是一个随机解释变量，而且与模型的随机误差项(t-lt-1)高度相关（因为Ct-1与t-1高度相关）。属于上述第3种情况。容易推得：tetttYYCll1110)1(=ttttCYll)()1(101101110)1()1((ttttCYllll)二、随机解释变量的后果（一）思想方法计量经济学模型一旦出现随机解释变量，如果仍采用OLS法估计模型参数，不同性质的随机解释变量会产生不同的后果。对回归模型Y=XB+N(2.7.5)其OLS参数估计量为：()()()XXXYXXXX11取期望，有EE()()()XXXXX1()()XXX1E(2.7.6)2、随机解释变量与随机误差项不相关这时采用OLS法估计模型参数，得到的参数估计量仍然是无偏估计量（二）随机解释变量后果随机解释变量带来什么后果取决于它与随机误差项是否相关。3、随机解释变量与随机误差项高度相关这时采用OLS法估计模型参数，得到的参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下也不具有渐近无偏性。4、随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，在大样本下渐近无关这时采用OLS法估计模型参数，得到的参数估计量在小样本下是有偏的，在大样本下具有渐近无偏的5、滞后被解释变量作解释变量，并且与随机误差项相关如果模型中的随机解释变量是滞后被解释变量，并且与随机误差项相关时，除了OLS法参数估计量是有偏外，还带来两个后果：①模型必然具有随机误差项的自相关性。因为该滞后被解释变量与滞后随机误差项相关，又与当期随机误差项相关。②D.W.检验失效。因为不管D.W.统计量的数值是多少，随机误差项的自相关性总是存在的。例：对一元线性回归模型Yi=0+1Xi+i设X为随机变量，且Cov(Xi,i)0，模型其他基本假定均满足。该模型的离差形式为yi=1xi+i相应的回归方程为：iixy1ˆˆ随机解释变量X与随机项的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会不同:（1）如果X与不相关且相互独立，即Cov(Xi,i)=E(xi,i)=E(xi)E(i)，于是在OLS法下，估计量1ˆ与其真值1有如下关系：2121ˆiiiiiixxxyx121211)()()()ˆ(iiiiiiExxExxEE即1ˆ是1的无偏估计。（2）如果X与在大样本下渐近无关,即iixnP1lim=0则有：1211121)lim()lim(liminiiniiinxPxPxxP即1ˆ是1的一致估计。（3）如果X与高度相关，并且在大样本下非渐近无关,即0)(iixE，且01limiixnP，则小样本下：1211)()ˆ(iiixxEE大样本下：1211121)lim()lim(liminiiniiinxPxPxxP即在小样本下，1ˆ是1的有偏估计，在大样本下1ˆ是1的非一致估计。注：小样本下，即使X与不相关，但不相互独立，也是有偏估计。4、工具变量法如果模型中出现随机解释变量并且与随机误差项相关时，OLS法就不能用于模型参数的估计。这时，最常用的估计方法是工具变量法（Instrumentvariables）。三、工具变量法1、工具变量选取的原则工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项相关的随机解释变量。选择为工具变量的变量必须满足以下条件：（1）与所替代的随机解释变量高度相关；cov(z,xi)------越大越好（2）与随机误差项不相关；cov(z,μ)=0（3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。cov(z,xj)=0j≠i,j=1,2…,L2、工具变量的应用工具变量法是克服X与相关影响的一种参数估计方法。以一元回归模型的离差形式为例说明如下：用OLS法估计离差模型，最后归结为求解一个关于参数估计量的正规方程组：0))ˆ((1iiiixyx或iiiiixxyx21ˆ并利用0),cov(iix，或0)(1iiiixExn而得出21ˆiiixyx如果原模型中x是随机解释变量并且与随机误差项相关，iix就不能被视为0，从而无法求出1ˆ。如果按照工具变量的选择条件选择z为x的工具变量，那么在估计过程中不用x而改用z乘以模型的两边，得：iiiiiizxzyz1ˆ利用工具变量与随机误差项不相关的性质，即Ezii()0，得：iiiixzyz1ˆ这种求模型参数估计量的方法称为工具变量法。关于0ˆ的估计，仍用XY10ˆˆ完成。对于矩阵形式：Y=XB+N采用工具变量法（假设2X与随机项相关，用工具变量Z替代）得到的正规方程组为：ZYZX通常，对于没有选择另外的变量作为工具变量的解释变量，可以认为用自身作为工具变量。于是被称为工具变量矩阵。参数估计量为：()ZXZY1其中Z111111211212xxxzzzxxxnnkkkn3、工具变量法估计量是无偏估计量一元线性模型中，用工具变量法所求的参数估计量1ˆ与总体参数真值1之间的关系为iiiiiiiiixzzxzxz111)(ˆ两边取概率极限得：iiniinxzPzPP1111limlim)ˆlim(如果工具变量z选取恰当，即有0),cov(1limiiiizznP，0),cov(1limiiiixzxznP则有：11)ˆlim(P对于多元线性模型EE()(())ZXZY1()(())()ZXZXZ1EE其中利用了工具变量与随机误差项不相关。4.寻找工具变量的方法一般而言，工具变量在x附近，但没有包含在回归方程里的变量。例如：收入模型Y=β0+β1S+β2A+β3X+μ其中：Y—工资，S—上学年限，A—能力；X—其他变量A----考试成绩（工具变量）再例：对时间序列数据，随机解释变量Xt的工具变量一般可用其滞后变量Xt-14、几点注解工具变量并没有替代模型中的解释变量，只是在估计过程中作为“工具”被使用。如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须找到两个以上的工具变量。但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序不影响估计结果。OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。为什么？如果1个随机解释变量可以找到多个互相独立的工具变量，人们希望充分利用这些工具变量的信息，就形成了广义矩方法（GMM）。在GMM中，矩条件大于待估参数的数量，于是如何求解成为它的核心问题。GMM是近20年计量经济学理论方法发展的重要方向之一。IV是GMM的一个特例。