整式加减中的规律探究题

根据所给的已知式子或图形，去观察、分析、归纳、猜想，从而找出规律，用代数式表示出来，然后运用探究的规律解决特殊情况下的求值问题，是整式的重要应用。现举例加以说明：一、利用整式探索数据间相等关系例1：从2开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表:加数的个数n和s12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×5…………⑴s与n之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？⑵计算2+4+6+8+……+2004.分析:观察上表通过观察比较不难看出和S的左边是连续偶数的和，右边是两个数的乘积，其中第一个数是前面数据的个数n；第二个数是比当n大1.利用此规律可以计算（2）。解:⑴s与n的关系为s=n(n+1).⑵当n=100222004时,s=1002×(1002+1)=1005006.即2+4+6+8+……+2004=1005006.点评：观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,特别要注意变化的数据之间的关系，把握其中的关系才能发现其中的规律，从而列式表示.二、利用整式探索与图形有关的数式变化规律例2：下面的图形是由边长为l的正方形按照某种规律排列而组成的．(1)观察图形，填写下表：图形个数（n）①②③正方形的个数8图形的周长18(2)推测第n个图形中，正方形的个数为________，周长为_______(都用含n的代数式表示)．(3)写出第2009个图形的周长。解析：⑴观察图形易知正方形的个数分别为13、18，图形的周长分别为28，38；⑵由于8＝5×1＋3，13＝5×2＋3，18＝5×3＋3，…从而在第n个图形中，正方形的个数为35n，又18＝10×1＋8，28＝10×2＋8，38＝10×3＋8，…，从而第n个图形的周长为10n＋8。⑶由⑵知图形的周长与图形的个数n的关系为：10n＋8=10×2009＋8＝20098点评：此类探究类问题关键在于寻找图形变化与图形中数据变化之间的对应的关系，然后用代数式表示这种关系，在探索的过程中要把握基本数量关系（即不变量），然后寻找变化量之间的关系。三、利用整式探索数阵排列规律例3：根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．（1）用含n的代数式表示出第n个图形中的三个数；（2）填出当n=2009时的三个值。分析：（1）以图表的形式给出了四组数据，通过观察可以发现每组数据与图表的个数n存在着如下关系：每组数据的第一行为为从1开始的连续奇数，第二行第一列为从1开始的连续偶数，第二行为偶数的平方与1的差；（2）把n=2009代入计算即可。解：（1）（2）点评：解决此类问题的关键在于找到每组数据中每个数据与图形个数n之间的数量关系，然后用含n的代数式表示出来。四、利用整式探究结论开放型问题例4：一张正方形的桌子可坐4人，按照图的方式将桌子拼在一起，试回答下列问题.⑴两张桌子拼在一起可以坐几人？三张桌子拼在一起可以坐几人？n张桌子拼在一起可以坐几人？⑵一家酒楼有60张这样的正方形桌子，按上图方式每4张拼成一个大桌子，则60张桌子可以拼成15张大桌子，共可坐多少人？⑶在⑵中若每4张桌子拼成一个大的正方形，共可坐多少人？⑷对于这家酒楼，哪种拼桌子的方式可以坐的人更多？分析：结合图形及题目中的条件变化进行观察分析即可得到结论。解：⑴两张桌子拼在一起可坐2+2+2=6(人);三张桌子拼在一起可坐2+2+2+2=8(人);n张桌子拼在一起可坐12222n14444444244444443个=2（n+1）=2n+2(人).⑵按上图方式每4张桌子拼成一个大桌子，那么一张大桌子可坐2×4+2=10(人).所以15张大桌子可坐10×15=150(人).⑶在⑵中，若每4张桌子拼成一个大的正方形桌子，则一张大正方形桌子可坐8人，15张大正方形桌子可坐8×15=120(人).（4）由⑵⑶比较可知，该酒楼采用第一种拼摆方式可以坐的人更多.点评：解决此类开放型问题要根据题目条件的不同，结合不同的图形进行分析、对比、归纳出不同的结论，最后经对比、分析、总结得出最优解。2n－12nn2－14017401818099080小李买了张50元的乘车月票卡，如果小李乘车的次数用n表示，则记录他每次乘车后的余额m（元）如下表：次数n余额m（元）150－0.8250－1.6350－2.4450－3.2……（1）写出用乘车的次数n表示余额m的公式．（2）利用上述公式计算乘了13次车还剩下多少元？（3）小李最多能乘几次车？