换元积分法与分部积分法

《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院1§8.2换元积分法与分部积分法教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学建议：(1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．教学过程：一、第一类换元法——凑微分法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子2，使成为11cos2cos2cos2222xdxxxdxxdx令2xu则上述右端积分111cos22cossin222xdxuduuC然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分1cos2sin22xdxxC更一般的，若函数Fx是函数fx的一个原函数，x是可微函数，并且复合运算Fx有意义，根据复合函数求导法则FxFxxfxx及不定积分的定义，有fxxdxFxC由于fuduFuC从《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院2而uxfxxdxfudu（1）综上所述，可得如下结论定理8.4：（第一换元积分法）设fu是连续函数，Fu是fu的一个原函数。又若ux连续可微，并且复合运算fx有意义，则uxfxxdxfuduFxC（2）第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分gxdx的被积表达式gxdx能够写成fxxdx的形式，可通过变量代换ux把被积表达式等同于fudu，若不定积分fuduFuC容易求得，那么再将ux代入Fu，便求出原不定积分gxdxFxC由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式gxdx变为fxxdxfxdx的形式。也就是把被积函数gx分解成两个因子的乘积，其中一个因子与dx凑成某一函数x的微分，而另一因子是x的函数fx，且经过这样的微分变形后被积表达式fxdx变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。凑微分法1：.)(1)()(1)(duufabaxdbaxfadxbaxf例１、利用1,,0dxdaxbabRaa，求下列积分133113434343xdxxdx，令34ux有14433331131343344xdxuduuCuC再将34ux代入，有《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院3433134344xdxxC222212()01()1()dxdxxdaaxxaxaaa令xua，有222arcsin1dxduuCaxu再将xxa代入，有22arcsindxxCaax22222()13[(1())]1()xddxdxaxxaxaaaa令xua22211arctan1dxduuCaxaua再将xua代入，有221arctandxxCaxa如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换ux可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了。凑微分法2、duufkxdxfkdxxfxkkkk)(1)()(1)(1.特别地,有duufxdxfxdxxf)(21)()(21)(222和xdxfdxxxf2)(.例２、利用11,,,0,11xdxdaxbabRaa，求下列积分《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院42221157575752xxdxxdx222211157575710102xdxxC＝2215720XC11121121()xxxedxedeCxx23222arctan111dxdxdxxCxxxx22401dxxxx解：（4）2222111111111dxddxxxxxxx22111211dxx1222111112dxx12221112112CCxx例３、若被积函数,xfxx利用xdxfxdxdxxx，有如下公式lnxdxfxdxdxxCxx求下列积分ln1lnlnlnlndxdxxCxxxsincos2tanlncoscoscosxdxxdxdxxCxxcossin3cotlnsinsinsinxdxxdxdxxCxx以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。例４、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院52211112dxdxaxaaxax11ln22dxadxaxaCaxaxaaxa2221121111xxxxxxxdedxeedxdxeeee11111111xxxxxxxdeeedxdxeeee21ln11xxeCe22222sin1113111sin1sinsin1sinxdxdxdxdxxxxx＝2cotcot12cot2cot212xddxxxxx＝1cotarctan22xxC凑微分法3：;)(sin)(sincos)(sinduufxdxfxdxxf;)(cos)(cossin)(cosduufxdxfxdxxf.)()(sec)(2duufdtgxtgxfxdxtgxf例５、对于sinnxdx与cosnxdxnN形式的积分，当n是偶数时，可利用三角恒等式2211sin1cos2cos1cos222xxxx来降低三角函数的幂，当n是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。242111sin1cos212cos2cos224xdxxdxxxdx＝112cos21cos442dxxdxxdx11sin2sin4428xxxxC＝131sin2sin4428xxxC《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院6322cos1sincosxdxxxdx231cossinsinsinsin3xdxxdxxxC例６、对于sinsin,cossincoscosxxdxxxdxxxdx和形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式11coscos2cos12cos122xxdxxxdxsin12sin12121212xxC12cos2sin3sin23sin322xxdxxxdx＝111sin5sincoscos5255xdxxdxxxC例７、根据2sin2sincos2tancos2222xxxxx1costancsccot2sinxxxxx2111csctan22tancostan222xxdxdxdxxxlntanlncsccot2xCxxC22seclncsccot22sin2dxxdxxxCx＝lnsectanxxC例８、2arcsinarcsinarcsin22111xxxdxdxdxxxxx＝22arcsinarcsinarcsinxdxxC凑微分法4：.)()()(duufdeefdxeefxxxx.《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院7例9、.2tedt凑微分法5：.)(ln)(ln)(lnduufxdxfxdxxf例10、.)ln21(xxdx凑微分法6：;)(arcsin)(arcsin1)(arcsin2duufxdxfdxxxfduufdarctgxarctgxfdxxarctgxf)()(1)(2.例11、dttarctgtxdxxarctgdxxxxarctgxt21212)1(cxarctgcarctgttgtarctgtdarc22)()(2.其他凑法举例:例12、ceeeeeeddxeeeexxxxxxxxxx)ln()(.例13、22)ln()ln()ln(1lnxxxxddxxxx例14dxtgxxxtgxxdxtgxxtgxxxxdxsecsecsecsec)(secsecsec2ctgxxtgxxtgxxd|sec|lnsec)(sec.例15、dxxxxx5cossinsincos.例16、dxxxxxcossinsin5cos.例17、21111111222242xxxxddxxxxdxxx例18、dxxxx2252.以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变《数学分析》教案第八章不定积分石家庄经济学院数理学院8形，然后再进行变量带换。因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。习题：P188—1891（1）～(24)；二、第二类换元法从积分tdt2cos出发，从两个方向用凑微法计算，即tdtdxxtxsinsin112sin2=tdt2cos=,2sin4121)2cos1(21cttdtt在式（１）中，如果2.1xx连续可微且定号，式中左端的不定积分fxxdxFxC容易求得，并且1xuux是的反函数，则式（2）右端的不定积分1fuduFxC。利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。第二换元积分法可以确切的叙述如下。定理8.5（第二换元积分法）:设fx是连续函数，x是连续可微函数，且x定号，复合运算ft有意义。设Ft是ftt的一个原函数，即fttdtFtC则1txfxdxfttdt