2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第13章-概率与统计(含答案解析)

第十三章概率与统计第1节概率及其计算题型140古典概型1.（2013广东理17）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.2.(2013全国新课标卷理14）从n个正整数12n，，，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n.3.（2013江苏7）现在某类病毒记作nmYX，其中正整数m，n（7m„，9n„）可以任意选取，则nm，都取到奇数的概率为.4.(2013安徽理21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心里测试活动，分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生，每次活动均需要该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系k位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使PXm取得最大值的整数m.5.（2014江西理12）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是.6.（2014江苏理4）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是．7.（2014广东理11）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.8.（2014新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都179201530有同学参加公益活动的概率（）.A.18B.38C.58D.789.（2014陕西理6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）.A.15B.25C.35D.4510.（2014新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）.A.18B.38C.58D.7811.（2014陕西理6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）.A.15B.25C.35D.4512.（2015广东理科4）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）.A．521B．1021C．1121D．112.解析从袋中任取2个球共有215C105种，其中恰好1个白球1个红球共有11105CC50种，所以恰好1个白球1个红球的概率为501010521．故选B．13.(2015北京理科16)A，B两组各由7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果25a，求甲的康复事件比乙的康复时间长的概率；（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）13.解析（1）设甲的康复事件为，则3147P…，即甲的康复时间不少于14天的概率为37.（2）设乙的康复事件为，集合10,11,12,13,14,15,16A，12,13,14,15,16,17,25B，则选取病人的基本事件空间为,,AB，共49个基本事件，其中符合题意的基本事件为：13,12，14,12，14,13，15,12，15,13，15,14，16,12，16,13，16,14，16,15，共10个.从而1049P.（3）可以看出A组7个连续的正整数，B组为12至17共6个连续的正整数和a，从而11a或18时，两组离散程度相同，即方差相等.14.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是．14.56解析将先后两次点数记为,xy，则基本事件共有6636（个），其中点数之和大于等于10有4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6，共6种，则点数之和小于10共有30种，所以概率为305366．15.（2016上海理14）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形128AAA的中心，11,0A，任取不同的两点,ijAA，点P满足ijOPOAOA0，则点P落在第一象限的概率是．15.528解析由题意ijOPOAOA，若要使得点P落在第一象限，则只需使ijOAOA在第三象限，可考虑变动i，当1,2,3i时，不存在；当4i时，7j符合要求，同理顺次画图即可．OA1A2A3A4A5A8A7A6xyyxA6A7A8A5A4A3A2A1O4,7()5,6()5,7()5,8()6,7()所有的满足条件的,ij的数组为4,7,5,6,5,7,5,8,6,7，共5组，故所求概率为285528C．故填528．16.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A，2A，3A，4A，5A，6A和4名女志愿者1B，2B，3B，4B，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A但不包含1B的概率.16.解析（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A但不包含1B的事件为M，则48510C5().C18PM题型141几何概型1．（2013四川理9）节日家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A.14B.12C.34D.782.(2013陕西理5）如图，在矩形区域ABCD的AC，两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）.12DACBEFA.π14B.π12C.π22D.π43.(2013福建理11）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“310a”310a发生的概率为_________.4.（2013山东理14）在区间3,3上随机取一个数x，使得121xx…成立的概率为__________.5.（2014辽宁理14）正方形的四个顶点1,1A，1,1B，1,1C，1,1D，分别在抛物线2yx和2yx上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是.6.（2014福建理14）如图所示，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.7.（2015陕西理科11）设复数1izxy(,)xyR，若1z„，则yx…的概率为（）．xyOeexyelnyxAOy2yx2yx1DCBx-11-1A．3142πB．1142πC．112πD．112π7.解析由||1z„可知，22221111xyxy剟.所以yx…表示如图所示的阴影部分，所以2211π1111142π142πSPS阴总.故选B.命题意图考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.8.（2015湖北理科7）在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy…”的概率，2p为事件“1||2xy„”的概率，3p为事件“12xy„”的概率，则（）．A．123pppB．231pppC．312pppD．321ppp8.解析123,,ppp依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B.也可作如下的计算：由图（1）得11117=12228p；由图（2）得21113=122224p；由图（3）得111312211111ln2=1dln222222pxxx.三个值比较得231ppp，故选B.图2图3图112x-y=-12xyOx-y=12y=12xxyOx+y=1212Oyx命题意图考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.9.（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）.A.13B.12C.23D.349.B解析如图所示，画出时间轴.BDCA7:407:508:008:108:208:307:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟.根据几何概型，所求概率10101402P.故选B.10.（2016山东理14）在[1,1]-上随机地取一个数k，则事件”直线ykx与圆22(5)9xy相交”发生的概率为．10.34解析首先k的取值空间的长度为2，由直线kxy=与圆22(5)9xy相交，所以2531kk，解得3344k剟，所以得事件发生时k的取值空间为33,44，其长度为23，利用几何概型可知，所求概率为43=223.11.（2016全国甲理10）从区间0,1随机抽取2n个数1x，2x，…，nx，1y，2y，…，ny，构成n个数对11,xy，22,xy，…，,nnxy，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）.A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn11.C解析由题意得：12iixyin，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41mn，所以4πmn.故选C．12.（2017江苏07）记函数26fxxx的定义域为D．在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是．12.解析由题意260xx…，故2,3D，所以325549P．故填59．13.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.A.14B.π8C.12D.π4ABCD13.解析设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为224，圆的面积为2π1π，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248.故选B.第2节随机变量及其分布题型142条件概率及相互独立事件同时发生的概率1.（2014新课标2理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）.A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.（2015全国Ⅰ理科4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）.A．0.648B．0