2013-2017考研数一真题(直接打印版)

12013硕士研究生入学考试数学一1.已知极限0arctanlimkxxxcx→−=，其中k，c为常数，且0c≠，则（）A.12,2kc==−B.12,2kc==C.13,3kc==−D.13,3kc==2.曲面2cos()0xxyyzx+++=在点(0,1,1)−处的切平面方程为（）A.2xyz−+=−B.0xyz++=C.23xyz−+=−D.0xyz−−=3.设1()2fxx=−，102()sin(1,2,)nbfxnxdxnπ==∫，令1()sinnnSxbnxπ∞==Σ，则9()4−=S（）A.34B.14C.14−D.34−4.设221:1Lxy+=，222:2Lxy+=，223:22Lxy+=，224:22Lxy+=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iiLyxIydxxdyi=++−=∫，则{}1234max,,,IIII=A.1IB.2IC.3ID4I5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）A.0,2ab==B.0,ab=为任意常数C.2,0ab==D.2,ab=为任意常数7.设123,,XXX是随机变量，且1(0,1)XN，22(0,2)XN，23(5,3)XN，{}22(1,2,3)=−≤≤=iiPPXi，则（）A.123PPPB.213PPPC.322PPPD132PPP8.设随机变量()Xtn,(1,)YFn，给定(00.5)aa，常数c满足{}PXca=，则{}2PYc=()29.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则01lim[()1]nnfn→−＝。10.已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y=。11.设224sin()sincostxtdytytttdxπ====+为参数，则。12.21ln(1)xdxx+∞=+∫。13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝。14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}=三．解答题：（15）（本题满分10分）计算dxxxf)(10∫，其中f(x)＝.)1ln(1dtttx+∫(16)(本题10分)设数列｛an｝满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaannan−=−−≥＝，＝S（x）是幂级数0.nnnax∞=∑的和函数（1）证明：()()0;′′−=SxSx（2）求().Sx的表达式（17）（本题满分10分）求函数的极值yxexyyxf++=)3(),(3.(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在[]1,1−上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：（I）存在.1)(1,0=′∈ξξf），使得（（Ⅱ）存在1,1()1.ffηηη′′′∈−+=（），使得（）319.(本题满分10分)设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面Σ，Σ与平面0,2zz==所围成的立体为Ω。（1）求曲面Σ的方程；（2）求Ω的形心坐标。20.（本题满分11分）设101,101aABb==，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。21.（本题满分11分）设二次型22123112233112233(,,)2()()fxxxaxaxaxbxbxbx=+++++，记123aaaα=，123bbbβ=。（1）证明二次型f对应的矩阵为2TTααββ+；（2）若,αβ正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为22122yy+。22.（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为21,03,()0,xxfxa=其他令随机变量2,1,,12,1,2xYxxx≤=≥（1）求Y的分布函数；（2）求概率{}PXY≤.23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为23,0,(;)0,xexfxxθθθ−=其他其中θ为未知参数且大于零，12,,nXXX，为来自总体X的简单随机样本。（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量。2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()fx在(),−∞+∞内连续，其中二阶导数()′′fx的图形如图所示，则曲线()=yfx的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设211()23=+−xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程′′′++=xyaybyce的一个特解，则()(A)3,2,1=−==−abc(B)3,2,1===−abc(C)3,2,1=−==abc(D)3,2,1===abc(3)若级数1∞=∑nna条件收敛，则3=x与3=x依次为幂级数1(1)∞=−∑nnnnax的()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点(4)设D是第一象限由曲线21xy=，41xy=与直线yx=，3yx=围成的平面区域，函数(),fxy在D上连续，则(),Dfxydxdy=∫∫()(A)()13sin2142sin2cos,sindfrrrdrπθπθθθθ∫∫(B)()1sin23142sin2cos,sindfrrrdrπθπθθθθ∫∫(C)()13sin2142sin2cos,sindfrrdrπθπθθθθ∫∫xyo(D)()1sin23142sin2cos,sindfrrdrπθπθθθθ∫∫(5)设矩阵21111214Aaa=，21bdd=，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Axb=有无穷多解的充分必要条件为()(A),ad∉Ω∉Ω(B),ad∉Ω∈Ω(C),ad∈Ω∉Ω(D),ad∈Ω∈Ω(6)设二次型()123,,fxxx在正交变换为=xPy下的标准形为2221232+−yyy，其中()123,,=Peee，若()132,,=−Qeee，则()123,,fxxx在正交变换=xQy下的标准形为()(A)2221232−+yyy(B)2221232+−yyy(C)2221232−−yyy(D)2221232++yyy(7)若A,B为任意两个随机事件，则()(A)()()()≤PABPAPB(B)()()()≥PABPAPB(C)()()()2≤PAPBPAB(D)()()()2≥PAPBPAB(8)设随机变量,XY不相关，且2,1,3===EXEYDX，则()2+−=EXXY()(A)3−(B)3(C)5−(D)5二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)20lncoslim_________.xxx→=(10)22sin()d________.1cosxxxxππ−+=+∫(11)若函数(,)=zzxy由方程cos2+++=xexyzxx确定，则(0,1)d________.z=(12)设Ω是由平面1++=xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.xyzdxdydzΩ++=∫∫∫(13)n阶行列式20021202___________.00220012−=−(14)设二维随机变量(,)xy服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则{0}________.PXYY−=三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数()ln(1)sin=+++fxxaxbxx，3()=gxkx，若()fx与()gx在0→x是等价无穷小，求,,abk的值.(16)(本题满分10分)设函数()fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI∈，由线()=yfx在点()()00,xfx处的切线与直线0xx=及x轴所围成区域的面积恒为4，且()02f=，求()fx的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数(),=++fxyxyxy，曲线C：223++=xyxy，求(),fxy在曲线C上的最大方向导数.(18)(本题满分10分)（I）设函数()()ux,vx可导，利用导数定义证明uxvxuxvxuxvx′′′=+[()()]()()()()（II）设函数()()()12nux,ux,,ux可导，nfxuxuxux=12()()()()，写出()fx的求导公式.(19)(本题满分10分)已知曲线L的方程为222,,zxyzx=−−=起点为()0,2,0A，终点为()0,2,0−B，计算曲线积分()()2222dd()dLIyzxzxyyxyz=++−+++∫.(20)(本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R的一个基，113=2+2kβαα，22=2βα，()313=++1kβαα.（I）证明向量组1β2β3β为3R的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1β2β3β下的坐标相同，并求所有的ξ.(21)(本题满分11分)设矩阵02313312a−=−−−A相似于矩阵12000031b−B=.(I)求,ab的值；（II）求可逆矩阵P，使1−PAP为对角矩阵..(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为()2ln2,0,0,0.xxfxx−=≤对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(II)求EY(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为：xfxθθθ≤≤=−1,1,(,)10,其他.其中θ为未知参数，12nx,x,,x为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量.(II)求θ的最大似然估计量.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111AabBabCaabDaab且且且且（2）已知函数21,1ln,1xxfxxx，则fx的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxAFxBFxxxxxxxxxxxCFxDFxxxxxxx（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx的两个解，则qx（）2222313111xxAxxBxxCDxx（4）已知函数,0111,,1,2,1xxfxxnnnn，则（）（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6）设二次型22