南京市2018届高三数学考前综合题(教师)

南京市2018届高三数学考前综合题一．填空题1．已知l，m是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题：①若l∥α，l∥m，则m∥α；②若lα，mβ，α∥β，则l∥m；③若lα，mβ，l⊥m，则α⊥β；④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m．其中是真命题的有．（填所有真命题的序号）【答案】④．【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断．2．已知函数f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为．【答案】2π3．【提示】因为f(x)＝3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)恒成立，即3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝3sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ)展开并整理得(3cosθ＋sinθ)sinx＝0恒成立．所以3cosθ＋sinθ＝0，即tanθ＝－3，又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3．【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解．3．在平面直角坐标系xOy中，过抛物线x2＝4y焦点的直线l交抛物线于M，N两点，若抛物线在点M，N处的切线分别与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为．【答案】2．【提示】由双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程y＝±bax，可得两条切线的斜率分别为±ba，则两条切线关于y轴对称，则过抛物线C1：x2＝4y焦点(0，1)的直线l为y＝1，可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，即a＝b，于是e＝2．【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l为y＝1，这是本题的难点．4．已知点P是△ABC内一点，满足AP→＝λAB→＋μAC→，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝．【答案】38．【提示】因为BD＝2DC，所以AD→＝13AB→＋23AC→由于AP→与AD→共线，设AP→＝mAD→，则λ＝m3，μ＝2m3，于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝14，所以λ＋μ＝38．【说明】本题考查平面向量表示，向量基本定理，共线定理以及三点共线的向量表示，本题可用基底法，也可通过坐标法解决．5．已知数列{an}的前n项和为Sn，{a2n－1}是公差为d的等差数列，{a2n}是公比为q的等比数列，且a1＝a2＝a，S2：S4：S6＝1：3：6，则daq的值是．【答案】2【提示】S2＝2a，S4＝a1＋a3＋a2＋a4＝2a＋d＋a＋aq＝3a＋d＋aq，S6＝a1＋a3＋a5＋a2＋a4＋a6＝3a＋3d＋a＋aq＋aq2＝，因为S2：S4：S6＝1：3：6，所以(2a)：(3a＋d＋aq)：(4a＋3d＋aq＋aq2)＝1：3：6，即d＋aq＝3a，3d＋aq＋aq2＝8a，所以2aq－aq2＝a．因为a≠0，所以2q－q2＝1即q＝1，所以d＝2a，从而daq＝2．【说明】本题考查等差、等比数列的基本量运算，需要学生有一定的运算能力．6．已知函数f(x)＝－34x＋1x，若直线l1，l2是函数y＝f(x)图像的两条平行的切线，则直线l1，l2之间的距离的最大值是．【答案】2．【提示】设切线l1，l2的切点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＞x2，因为f′(x)＝－34－1x2，切线l1，l2平行，所以－34－1x12＝－34－1x22，因此有x1＝－x2＞0，切线l1，l2的方程分别为y＝(－34－1x12)x＋2x1，y＝(－34－1x22)x＋2x2，于是l1，l2之间的距离d＝|2x1－2x2|(－34－1x12)2＋1＝4x1(－34－1x12)2＋1＝42516x12＋1x12＋32≤452＋32＝2，当且仅当x1＝255时取等号，于是d的最大值为2．【说明】本题考查导数的几何意义，基本不等式，解决问题时要有消元的意识．7．在平面直角坐标系xOy中，点P是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与圆O：x2＋y2＝b24相切于点Q，若Q恰为线段FP的中点，则椭圆C的离心率为．【答案】53．【提示】设椭圆C的左焦点为F1，连接PF1，OQ，因为Q为线段FP中点，O为线段F1F中点，所以，PF1＝b，PF＝2a－b，又OQ⊥PF，所以PF1⊥PF，因此PF12＋PF2＝F1F2，所以b2＋(2a－b)2＝(2c)2，即b2＋(2a－b)2＝4(a2－b2)，可得ba＝23，所以e＝53．【说明】本题考查椭圆的几何性质，要能运用几何特征简化运算，本题也可以设点求解．8．实数x，y满足x2＋2xy＋4y2＝1，则x＋2y的取值范围是．【答案】[－223，223]．【提示】设x＋2y＝t，则y＝t－x2，代入x2＋2xy＋4y2＝1得：x2－tx＋t2－1＝0，则△＝t2－4(t2－1)≥0，解得－233≤t≤233．【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如：已知等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，且S2＋2，S3＋4，S4＋6成等比数列，则公差d的最小值是．转化为关于a1和d的方程，看作关于a1的方程有解，列出关于d的不等式即可，答案－1．9．已知AB＝4，点M，N是以AB为直径的半圆上的任意两点，且MN＝2，AM→·BN→＝1，则AB→·MN→＝．【答案】6．【提示】设圆心为O，则OM→·ON→＝2，OA→·OB→＝－4，于是AM→·BN→＝(OM→－OA→)·(ON→－OB→)＝OM→·ON→＋OA→·OB→－OA→·ON→－OB→·OM→＝2－4－OA→·ON→＋OA→·OM→＝－2－OA→·MN→＝－2＋12AB→·MN→＝1所以AB→·MN→＝6．【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想．ABNMDCBA10．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1，1)，若圆M：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上存在两点A，B使得AP→＝2PB→，则r的取值范围是．【答案】(2，32]．【提示】设B(x0，y0)，根据AP→＝2PB→，可得A(3－2x0，3－2y0)，则有(1－2x0)2＋(3－2y0)2＝r2，即(x0－12)2＋(y0－32)2＝r24，又(x0－2)2＋y02＝r2，故有r－r2≤(2－12)2＋(32)2≤r＋r2，解得：2≤r≤32，易知点P(1，1)在圆(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)内，所以r＞2，从而r∈(2，32]【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．11．在平面四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，△ABC为等边三角形，则△BCD面积的最大值是．【答案】4＋43．【提示】设△BCD的面积为S，则S＝12×4×BC×sin∠BCD＝2BCsin(∠ACD＋π3)＝BCsin∠ACD＋3BCcos∠ACD设∠ADC＝α，则ACsinα＝2sin∠ACD，于是ACsin∠ACD＝2sinα，即BCsin∠ACD＝2sinα，又BCcos∠ACD＝AC×AC2＋42－222AC×4＝AC2＋128＝22＋42－2×2×4cosα＋128＝4－2cosα，所以S＝2sinα＋3(4－2cosα)＝4sin(α－π3)＋43，从而S的最大值为4＋43，此时α＝5π6．【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难点在如何选择变量建立函数．12．已知函数f(x)＝x2－[k2＋(2－a)k＋4－a]x＋1，a，k∈R．对于任意k＞0有：任意x1∈[－1，0]，任意x2∈[k，k＋2]，f(x1)≥f(x2)成立，则a的最大值是．【答案】22－1．【提示】由题意知：函数f(x)在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f(x)在区间[k，k＋2]上的最大值．结合函数f(x)的图像可知：对称轴x＝k2＋(2－a)k＋4－a2≥k＋22，对任意k＞0恒成立，即a≤k2＋k＋2k＋1，对任意k＞0恒成立．因为k2＋k＋2k＋1＝k＋2k＋1＝k＋1＋2k＋1－1≥22－1，当且仅当k＝2－1时取等号，因此当k＞0时，k2＋k＋2k＋1的最小值为22－1，于是a≤22－1，所以a的最大值是22－1．【说明】本题的题意为：函数f(x)在[－1，0]上的最小值不小于函数f(x)在[k，k＋2]上的最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．13．已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，则当a＋b取最小值时，b的值为．【答案】ln3－13．【提示】在平面直角坐标系xOy中，分别作出y＝lnx及y＝a(x－2)＋b的图像，不等式lnx≤a(x－2)＋b对一切正实数x恒成立，即直线y＝a(x－2)＋b恒在曲线y＝lnx的上方．a＋b最小，即直线y＝a(x－2)＋b与x＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a＋b的最小值为ln3，此时直线y＝a(x－2)＋b与曲线y＝lnx相切于点(3，ln3)，因此有：a＝13，从而b＝ln3－13．【说明】复杂的函数问题要善于数形相互转化，利用图像快速解决问题．14．已知函数f(x)＝x3－ax＋1，g(x)＝3x－2，若函数F(x)＝f(x)，f(x)≥g(x)，g(x)，f(x)＜g(x)，有三个零点，则实数a的取值范围是．【答案】a＞3518．【提示】易得f'(x)＝3x2－a．当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．当a＞0时，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝±a3，易得函数f(x)在(－∞，－a3)，(a3，＋∞)上单调递增，在(－a3，a3)上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)，g(x)的图像，根据图像可知：当f(a3)＞0时，F(x)有且仅有一个零点；当f(a3)＝0时，F(x)有且仅有一个零点；当f(a3)＜0时，要使得F(x)有三个不同的零点，则f(23)＜0或者f(23)≥0，a3＜23，解得a＞3518．【说明】本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题．二．解答题15．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f'(x)是f(x)的导函数．（1）求函数F(x)＝f(x)f'(x)＋3f2(x)的最大值和最小正周期；（2）若f(x)＝2f'(x)，求sin(2x＋π4)的值．解：（1）因为f'(x)＝cosx－sinx，所以F(x)＝f(x)f'(x)＋3f2(x)＝cos2x－sin2x＋3＋23sinxcosx＝3＋3sin2x＋cos2x＝3＋2sin(2x＋π6)．所以当2x＋π6＝π2＋2kπ，即x＝π6＋kπ(k∈Z)时，F(x)max＝3＋2．函数F(x)的最小正周期为T＝2π2＝π．（2）因为f(x)＝2f'(x)，所以sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即cosx＝3sinx，故tanx＝13．于是sin(2x＋π4)＝22(sin2x＋cos2x)＝22(2sinxcosxsin2x＋cos2x＋cos2x－sin2xsin2x＋cos2x)＝22(2tanx1＋tan2x＋1－tan2x1＋tan2x)＝22·2tanx＋1－tan2x1＋tan2x＝22·2×13＋1－(13)21＋(13)2＝7210．【说明】本题考查三角恒等变换以及三角函数的简单性质，注意公式和性质的熟练掌握．16．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(2a＋c)BC→·BA→＋cCA→·CB→＝0．（1）求角B的大小；（2）若b＝23，试求AB→·CB→的最小值．解：（1）因为(2a＋c)BC→·BA→＋cCA→·CB→＝0，所以(2a＋c)accosB＋cabcos